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Lezioni di Scienza delle Costruzioni

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Seven Days in Hell

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2

This Book Is Full of Bodies

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Lezioni di Scienza delle Costruzioni
Stefano Vidoli

Copyright c 2017 Stefano Vidoli
http://stefanovidoli.site.uniroma1.it/
Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the
“License”). You may not use this file except in compliance with the License. You may obtain a
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First printing, October 2016

Indice

0.1

Notazioni e definizioni minimali di algebra lineare

5

0.2

Notazioni e definizioni minimali di calcolo differenziale

7

0.3

Geometria delle aree

I
1

10

Meccanica dei corpi continui deformabili
Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1

Trasporto e spostamento

1.1.1

Trasporto di elementi d’area e volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

19

1.2

Trasporti rigidi e deformazione

1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6

Definizioni di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Significato delle componenti del tensore di deformazione infinitesima
Una decomposizione notevole del tensore di deformazione . . . . . . .
Cambiamento del sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Direzioni principali di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dalla deformazione allo spostamento: le equazioni di compatibilità .

2

Energia e tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1

Forze o energia?

35

2.2

Energia e principio di minimo

36

2.3

Assunzioni costitutive

36

2.3.1

Differenziabilità della densità di energia elastica: tensione . . . . . . . . . . . . .;  . . . . . . . . 37

2.4

Condizioni necessarie per un minimo locale

2.4.1

Equazioni di bilancio di forze e momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

22
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26
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28
28
30

38

2.5

La deduzione di Cauchy del tensore della tensione

2.5.1

Direzioni principali di tensione e cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

41

2.6

Più dettaglio sulle assunzioni costitutive

2.6.1
2.6.2
2.6.3

Classi di simmetria materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Deformazioni indotte da altre forme di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
I criteri di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

45

2.7

Il problema elastico per un corpo tridimensionale deformabile

54

Il problema del cilindro di
de Saint Venant

II
3

Il cilindro di de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1

Ipotesi definitorie

60

3.2

Soluzione

3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.2.6
3.2.7
3.2.8

Principali assunzioni e nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il metodo semi-inverso e l’ipotesi sulla tensione . . . . . . . . . . .
Forma semplificata del problema elastico . . . . . . . . . . . . . . .
Una nota sulle sezioni multiconnesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soluzione in termini di tensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcolo esplicito della rigidezza torsionale . . . . . . . . . . . . . .
Calcolo esplicito delle condizioni di compatibilità sulle lacune
Calcolo di deformazioni e spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Problemi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1

Pressoflessione

4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5

Riduzione di sistemi di molteplici forze . . . . . . . .
Asse neutro e diagramma delle tensioni normali
Costruzione grafica dell’asse neutro . . . . . . . . .
Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nocciolo d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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61
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64
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71
72

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4.2

Taglio e torsione

4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.2.6

Riduzione di sistemi di molteplici forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La tensione normale nei problemi di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formula di Jourawsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applicazione alle sezioni sottili per il calcolo della tensione tangenziale
Il calcolo della curvatura torsionale e il concetto di centro di taglio . .
Costruzione grafica della tensione di Jourawsky . . . . . . . . . . . . . . . .

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84
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89
90

4.3

Torsione

4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
4.3.5
4.3.6
4.3.7

Analogia della membrana . . . . . . . . . . . . . . .
Sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La sezione rettangolare e le sezioni aperte sottili
Le sezioni sottili aperte di forma generica . . . . .
Le sezioni sottili multiconnesse . . . . . . . . . . . . .
Sezioni alla Bredt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Correzione per sezioni “meno” sottili . . . . . . . . .

92

5

Applicazione alla teoria della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1

Equazioni di bilancio per un modello di trave

101

5.2

Energia elastica

102

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92
93
95
96
97
98

Referenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Prerequisiti

0.1

Notazioni e definizioni minimali di algebra lineare
Useremo, tranne espliciti avvertimenti, sistemi di riferimento orto-normali; in tali sistemi, detto ai
il generico vettore della base, si ha

1, se i = j
ai · aj = δij :=
0, se i 6= j
Ci riserveremo di usare simboli in grassetto per indicare vettori e tensori, mentre per le quantità
scalari useremo caratteri normali. Così ad esempio:
X
X=
Xi ai ,
i

nella medesima equazione X indica il vettore posizione di un punto, mentre Xi indicano le sue
componenti scalari sulla base {a1 , a2 , ...}. Useremo la convezione di somma sugli indici ripetuti:
X
ui ai :=
ui ai .
i

Useremo spesso il prodotto tensore; questa operazione associa a due vettori, u e v, un unico tensore,
u ⊗ v, secondo la seguente definizione:
(u ⊗ v) w = (v · w) u,

∀w

Tale operazione risulta particolarmente utile allorchè si noti che ogni tensore può espresso come
combinazione lineare
A = Aij ai ⊗ aj
dei tensori base {a1 ⊗ a1 , ..., ai ⊗ aj , ...}i,j=1,2,... . I coefficienti di tale combinazione lineare, o
componenti di A in tale base, sono univocamente determinati dalle:
Aij = Aaj · ai .
Così, ad esempio, le componenti del tensore u ⊗ v sono
(u ⊗ v)ij = (u ⊗ v)aj · ai = (v · aj )(u · ai ) = ui vj .

6
Spesso si è soliti raggruppare tali componenti in una matrice; nel caso la indicheremo con [A].
Sebbene questa matrice diviene rappresentativa del tensore A nella base ai ⊗ aj , il medesimo
tensore potrebbe essere rappresentato da un’altra matrice in un’altra base:
A = Aij ai ⊗ aj = Âhk âh ⊗ âk .
È bene dunque non confondere le matrici rappresentative di un tensore con il tensore stesso.
Per vettori v ∈ IR2 , indicheremo con v il vettore ruotato di 90◦ in senso antiorario; se
v = v1 a1 + v2 a2 ,

v = −v2 a1 + v1 a2 .

allora

Ricordiamo che il trasposto A> di un tensore A è l’unico tensore per cui vale
A u · v = u · A> v,

∀u, v.

Scegliendo u = aj e v = ai si ottiene facilmente la relazione tra le rispettive matrici: Aij = (A> )ji .
Un tensore si dice simmetrico (A ∈ Sym) se A = A> e antisimmetrico (A ∈ Skw) se A = −A> .
È facile osservare che ogni tensore ammette la seguente decomposizione:
A=

A + A>
A − A>
+
= symA + skwA,
2
2

in una parte simmetrica e in una antisimmetrica.
La traccia è una funzione che associa ad ogni tensore un numero scalare in modo lineare. In
particolare, essa viene definita come:
tr(u ⊗ v) = u · v.
Essendo un’operazione lineare ne segue facilmente:


X
X
X
Aij (ai · aj ) =
Aii
trA = tr 
Aij ai ⊗ aj  =
i,j

i,j

i

La traccia permette inoltre di definire un’operazione di prodotto scalare tra tensori :
X
A · B := tr(B > A) =
Bij Aij
i,j

e dunque la norma di un tensore:
kAk :=

√

A·A=

sX

A2ij .

i,j

Un’altra decomposizione notevole dei tensori è la seguente
A = sphA + devA,
in parte sferica, sphA := (1/3) (trA) 1, e parte deviatorica, devA := A − sphA. Evidentemente la
parte deviatorica ha traccia nulla. Notiamo, e sarà utile nel seguito, che i tensori simmetrici ed
antisimmetrici sono tra loro ortogonali, così come lo sono i tensori sferici e quelli deviatorici. In
altri termini:
∀A ∈ Sym, ∀B ∈ Skw,
A · B = 0,
∀C ∈ Sph, ∀D ∈ Dev,

C · D = 0.

Siano u, v, w tre vettori linearmente indipendenti e siano Au, Av, Aw le loro immagini dopo
l’applicazione del tensore A. Il determinante di A è il rapporto tra i volumi dei parallelepipedi:
det A =

vol (Au, Av, Aw)
,
vol (u, v, w)

0.2 Notazioni e definizioni minimali di calcolo differenziale

7

Si dimostra che questa definizione è in realtà indipendente dai vettori scelti. Se u = a1 ,v = a2 ,w =
a3 , si ha la definizione standard det A = (Aa1 × Aa2 ) · Aa3 . Dalla definizione geometrica del
determinante è facile far discendere le note proprietà:
det R = 1, ∀R ∈ Orth+ ,

det(AB) = (det A) (det B),

det A−1 =

1
.
det A

Infine definiamo i tensori ortogonali come la classe di tensori che preserva il prodotto scalare tra
vettori. Diremo che Q ∈ Orth
Qu · Qv = u · v, ∀u, v
ovvero, usando la nozione di trasposto e l’arbitrarietà dei vettori,
Q> Q = 1.
Da quest’ultima segue che detQ = ±1. Dunque i tensori ortogonali sono partizionati in due classi:
• le rotazioni, R ∈ Orth+ , il cui determinante è positivo e dunque pari a 1,
• le riflessioni o i tensori ortogonali il cui determinante è pari a −1.
Decomposizione polare. Ogni applicazione lineare F con det F > 0 si decompone in maniera
univoca come prodotto di una matrice ortogonale ed una matrice simmetrica e definita positiva:

F = R U,

R ∈ Orth+ ,

U ∈ PSym

(1)

Dimostrazione. Data F siano C := F >F e U 2 := C. Chiaramente C è simmetrico e definito
positivo C ∈ PSym, ma una semplice decomposizione spettrale mostra che se:
C=

3
X

ci vi ⊗ vi ,

ci > 0,

i=1

allora
U=

3
X
√

ci vi ⊗ vi ,

i=1

e dunque anche U ∈ PSym. Rimane da dimostrare che F U −1 è ortogonale; ma
(F U −1 )> (F U −1 ) = U −> F > F U −1 = U −1 CU −1 = 1.


0.2

Notazioni e definizioni minimali di calcolo differenziale
Un campo scalare ϕ : B ⊂ IRn 7→ IR definito su un dominio si dice differenziale in X se esiste un
vettore (Grad ϕ) tale che
ϕ(X + v) = ϕ(X) + (Grad ϕ) · v + o(kvk),

∀v

Se si prende v = ε aj , dalla precedente si ottiene
(Grad ϕ) · aj =

ϕ(X + εaj ) − ϕ(X) o(kεk)
+
,
ε
ε

e, passando al limite per ε → 0, la definizione usuale della derivata direzionale
(Grad ϕ) · aj = lim

ε→0

ϕ(X + εaj ) − ϕ(X)
≡ ϕ,j ,
ε

dove abbiamo indicato la derivata parziale ∂ϕ/∂Xj con il simbolo ϕ,j . Dunque
 
n
X
Grad ϕ =  ϕ,j aj .
j=1

8

Figura 1: Il campo vettoriale (grad ϕ) misura la pendenza di una funzione ϕ : IR2 7→ IR.
Ci riserveremo di usare il simbolo “Grad ” per indicare il gradiente in IR3 , mentre useremo il
simbolo “grad ” per indicare il gradiente in IR2 . Nella Figura mostriamo le curve isolivello di una
funzione ϕ : IR2 7→ IR; si noti come il campo vettoriale (grad ϕ), è in ogni punto ortogonale alle
curve isolivello, vedi Fig. 1. In effetti, se si sceglie l’incremento v sufficientemente piccolo e in
direzione tangente alla curva isolivello
ϕ(X + v) ' ϕ(X)

⇒

grad ϕ · v ' 0.

Un campo vettoriale u : B ⊂ IRm 7→ IRn si dice differenziale in X se esiste un’applicazione
lineare (Grad u) tale che
u(X + v) = u(X) + (Grad u)v + o(kvk),

∀v.

In effetti, quando kvk → 0 il tensore (Grad u) mappa linearmente l’incremento v nel dominio nella
risultante variazione [u(X + v) − u(X)] nel codominio. Se si prende v = ε aj , dalla precedente si
ottiene
u(X + εaj ) − u(X) o(kεk)
(Grad u)aj =
+
,
ε
ε
ovvero, passando al limite per ε → 0 e proiettando nella direzione ai ,
ui (X + εaj ) − ui (X)
≡ ui,j
ε→0
ε


n
m X
X
ui,j ai ⊗ aj .
Grad u = 

(Grad u)aj · ai = lim
ovvero

i=1 j=1

Dato un campo vettoriale u definito su un dominio B ⊂ IR2 e considerato un sottoinsieme
aperto D ⊂ B ha senso considerare le due seguenti operazioni
Z
I
F(u) :=
u · n,
C(u) :=
u · t,
∂D

∂D

che definiscono rispettivamente il flusso sulla frontiera ∂D e la circolazione sulla curva ∂D del
campo vettoriale. Qui n e t indicano rispettivamente la normale e la tangente al bordo ∂D.
Sia ora X ∈ D un punto interno a D e d la massima distanza da X dei punti di D. Definiamo
la divergenza e il rotore del campo vettoriale u in X come
Z
I
1
1
div u := lim
u · n,
rot u := lim
u · t.
d→0 AD ∂D
d→0 AD ∂D
essendo AD l’area del dominio D. Divergenza e rotore significano dunque il flusso medio e la
circolazione media di un campo vettoriale negli intorni infinitesimi di un punto. Si dimostra che,
nel limite d → 0, tali definizioni non dipendono dalla forma degli intorni D usati per definirli.

0.2 Notazioni e definizioni minimali di calcolo differenziale

9

Figura 2: Gli ingredienti fondamentali per il calcolo di flusso e circolazione di un campo vettoriale.
Se si utilizza l’intorno di un punto dettato dalle coordinate cartesiane, vedi Fig. 2, usando le
definizioni facilmente si ottiene
div u = .... = u1,1 + u2,2 ,

rot u = ... = u2,1 − u1,2 .

Essendo t = n è facile verificare che, in IR2 , rot u ≡ −div ( u) e div u ≡ rot ( u).
Questa corripondenza, a volte utile, è tuttavia un caso speciale della dimensione n = 2; in IRn la
dimensione di una una curva (essenziale per calcolare la circolazione) non coincide con la dimensione
del bordo di un dominio (essenziale per il flusso): 1 6= n − 1.
In effetti, passando al caso tridimensionale le definizioni di flusso e divergenza rimangono
sotanzialmente immutate a parte il considerare intorni tridimensionali del punto:
Z
1
Div u := lim
u · n = ... = u1,1 + u2,2 + u3,3 = uj,j ,
d→0 VD ∂D
dove VD è ora il volume del dominio D.
L’informazione relativa alla circolazione del campo vettoriale è invece più ricca avendo a
disposizione diverse curve su cui calcolarla. In particolare si dimostra che è sufficiente calcolare la
circolazione in tre piani ortogonali passanti per il punto X per poterla conoscere in un qualunque
piano per lo stesso punto, vedi Fig. 3.

Figura 3: Tre curve “linearmente indipendenti” su cui calcolare la circolazione.
Si definisce, allora, il rotore di un campo vettoriale u in IR3
Rot u := (u3,2 − u2,3 ) a1 + (u1,3 − u3,1 ) a2 + (u2,1 − u1,2 ) a3 .
ovvero per componenti
(Rot u)i = −ijh uj,h
Con questa definizione il rotore in ciascuno dei piani coordinati è semplicemente la proiezione di
Rot u sull’asse ortogonale al piano in questione.

10
Per campi vettoriali sufficientemente regolari useremo spesso nel seguito il teorema della
divergenza
Z
Z
Div u =
u · n,
u in IRn
D

∂D

e il teorema del rotore
Z

I
u · t,

rot u =
D

u in IR2 .

∂D

Useremo infine le nozioni di divergenza e rotore anche per campi tensoriali. In tal caso,
appoggiandoci sulle definizioni precedenti, definiamo
(Div T ) · ak := Div (T > ak ),

(Rot T ) · ak := Rot (T > ak ),

ovvero per componenti
(Rot T )ik = −ijh Tkj,h .

(Div T )k = Tkj,j ,

Con tale assunzione il teorema della divergenza per un campo tensoriale si scrive semplicemente
Z
Z
Div T =
T n.
D

0.3

∂D

Geometria delle aree
Sia B un dominio sufficientemente regolare in IR2 . Fissato un sistema di riferimento ortonormale
(o, a1 , a2 ), sia r = X1 a1 + X2 a2 il vettore posizione del generico punto in B.
Si definiscono area, momento statico e momento d’inerzia le seguenti grandezze:
Z
Z
Z
A :=
1,
S :=
r,
J :=
r ⊗ r,
B

B

B

Si definisce inoltre il baricentro come il punto individuato dal vettore rG := S/A.
Dimensionalmente abbiamo [A] ≡ m2 , [S] ≡ m3 , [J ] ≡ m4 . Inoltre il tensore d’inerzia è definito
positivo e simmetrico J ∈ PSym. In effetti la simmetria segue immediatamente dalla definizione.
essendo (u ⊗ v)> = v ⊗ u, mentre per la positività basta considerare che
Z
Z
J n · n = (r ⊗ r)n · n = (r · n)2 > 0.
B

B

Evidentemente sia le componenti del vettore momento statico S che quelle del tensore momento
d’inerzia J dipendono dal sistema di riferimento scelto. Vediamo nel seguito come cambiano se si
sceglie un differente sistema di riferimento.
Cambiamento per translazione
Il nuovo sistema di riferimento (o0 , a1 , a2 ) sia ottenuto dal precedente (o, a1 , a2 ) tramite una pura
traslazione dell’origine: o0 = o + u. Allora si ha evidentemente r = r 0 + u, da cui integrando sul
dominio segue facilmente (Teorema di Huygens):
S 0 = S − A u,

J 0 = J − S ⊗ u − u ⊗ S + A u ⊗ u.

Nel caso in cui la traslazione porti la nuova origine o0 nel baricentro G del dominio, ovvero se
u ≡ rG , dalle precedenti si ottiene:
S 0 = 0,

J 0 = J − A rG ⊗ rG .

Il tensore JG := J − A rG ⊗ rG si chiama tensore di inerzia baricentrico.

0.3 Geometria delle aree

11

Cambiamento per rotazione
Il nuovo sistema di riferimento (o, â1 , â2 ) sia ottenuto da quello iniziale (o, a1 , a2 ) tramite una
pura rotazione degli assi, ovvero:
â1 = Q a1 ,

â2 = Q a2 ,

+

con Q ∈ Orth un tensore ortogonale con determinante pari a 1.
Per il vettore posizione r = Xi ai = X̂h âh ne segue:
X̂h = r · âh = (Xi ai ) · (Q ah ) = Qih Xi
Integrando sul dominio, otteniamo le componenti del momento statico e del momento di inerzia
Ŝh = Qih Si ,
Jˆhk = Qih Jij Qjk .
ˆ = [Q]> [J][Q]. Si noti che
ovvero, in forma compatta, la relazione tra le matrici [Ŝ] = [Q]> [S] e [J]
il vettore S ed il tensore J sono gli stessi, ma le loro componenti sono diverse a seconda dei due
sistemi di riferimento:
S = Si ai = Ŝh âh ,
J = Jij ai ⊗ aj = Jˆhk âh ⊗ âk .
Per una rotazione di un angolo φ (positiva in senso antiorario) si ha


cos φ − sin φ
[Q] =
sin φ cos φ
da cui:

Jˆ11 (φ) = J22 sin2 φ + J12 sin(2φ) + J11 cos2 φ,
Jˆ22 (φ) = J11 sin2 φ − J12 sin(2φ) + J22 cos2 φ,

Jˆ12 (φ) = J12 cos(2φ) + (J22 − J11 ) sin φ cos φ.
Se si sceglie l’angolo φ in modo tale da annullare la componente mista del momento d’inerzia
Jˆ12 (φ), ovvero se:
2J12
tan(2φ∗ ) =
J11 − J22
ˆ che rappresenta l’inerzia nel riferimento (â1 , â2 ) e:
allora si diagonalizza la matrice [J]
J â1 = j1 â1 ,

J â2 = j2 â2 .

Un tale sistema di riferimento si chiama principale d’inerzia, gli autovalori
j1 := Jˆ11 (φ∗ ),
j2 := Jˆ22 (φ∗ ),
si chiamano momenti principali d’inerzia, mentre i due autovettori (â1 , â2 ) definiscono le direzioni
principali d’inerzia.
Sistemi centrali d’inerzia
Un sistema di riferimento (G, â1 , â2 ) centrato nel baricentro e con assi principali d’inerzia si dice
anche centrale d’inerzia. In un sistema di riferimento centrale, essendo il momento statico nullo
e la matrice rappresentativa dell’inerzia diagonale, le caratteristiche geometriche di un dominio
sono univocamente definite dall’area A e dai momenti principali d’inerzia j1 e j2 .
Se conosciamo la geometria delle aree, in particolare S e J , in un sistema di riferimento
generico (o, a1 , a2 ) per ottenere un sistema centrale d’inerzia sarà sufficiente applicare in sequenza
le trasformazioni appena viste (translazione u = rG e rotazione di un angolo opportuno). In
particolare si otterrà dapprima
JG = J − A rG ⊗ rG ,
e quindi
j1 = JG22 sin2 φ∗ + JG12 sin(2φ∗ ) + JG11 cos2 φ∗
j2 = JG11 sin2 φ∗ − JG12 sin(2φ∗ ) + JG22 cos2 φ∗
essendo



1
2JG12
tan−1
,
2
JG11 − JG22
l’angolo (positivo antioriario) che porta la base (a1 , a2 ) nella base principale (â1 , â2 ).
φ∗ =

12
Ellisse d’inerzia
Una costruzione molto utile dal punto di vista grafico è quella dell’ellisse d’inerzia perché compendia
in sè le informazioni relative a A, S e J .
Si definisce ellisse d’inerzia di un dominio B l’ellisse con:
• centro nel baricentro,
• assi le direzioni principali d’inerzia,
p
• lunghezza dei semi-assi i giratori d’inerzia ρh := jh /A.
L’equazione dell’ellisse d’inerzia in un sistema di riferimento generico è:
−1
AJG
(r − rG ) · (r − rG ) = 1.

Per convincersene, basta prendere l’origine nel baricentro o ≡ G per ottenere rG = 0:
−1
AJG
r · r = 1,

ed esprimere il vettore posizione, r = X̂h âh , secondo gli assi centrali d’inerzia per ottenere:


X
X
X̂ 2
X̂ 2
δhk
−1
= 21 + 22 = 1,
A
X̂h X̂k JG âh · âk = A
X̂h X̂k
jh
ρ1
ρ2
h,k

h,k

ovvero l’equazione canonica di un ellisse che verifica le proprietà sopra enunciate.
Costruzione approssimata dell’ellisse d’inerzia
Come vedremo in seguito molte costruzioni grafiche sono basate sul preventivo tracciamento
dell’ellisse di inerzia di un dominio piano (=la sezione del cilindro nel seguito).
È allora molto importante saper tracciare l’ellisse d’inerzia con buona approssimazione. Di
seguito riportiamo alcune considerazioni importanti a tal fine.
Per quanto riguarda il baricentro si tenga presente che questo rappresenta il punto medio della
sezione. In effetti:
Z
1
rG :=
r
A B

Figura 4: Il baricentro di un dominio composito; visto che A2 = 2A1 allora d1 = 2d2 .
Inoltre, se un dominio é costituito dall’unione di due parti B = B1 ∪ B2 allora, dal teorema di
attitività degli integrali facilmente si ha:
rG =

A1
A2
rG1 +
rG2 ,
A
A

e dunque il baricentro di B si trova sulla retta congiungente i baricentri dei singoli domini a distanze
inversamente proporzionali alle aree:
krG − rG1 k
A2
=
.
krG − rG2 k
A1
Un esempio è riportato nella Fig. 4. Per un dominio composto da più di due parti, questo processo
di costruzione può essere evidentemente iterato.

0.3 Geometria delle aree

13

Figura 5: Gli assi per il baricentro rispetto ai quali l’inerzia è minima e massima.
Per quanto riguarda le direzioni principali d’inerzia del tensore d’inerzia baricentrico si tenga presente che rispetto a queste due direzioni l’inerzia della sezione risulta minima e massima.
In effetti, se si prende una direzione generica n = {cos φ, sin φ}, l’inerzia rispetto all’asse per G
ortogonale a n vale:
jn (φ) = JG n · n = JG11 cos2 φ + JG22 sin2 φ + JG12 sin(2φ),
e la condizione perchè questa sia massima (o minima) si scrive:
0 = jn0 (φ) = 2JG12 cos(2φ) + (JG22 − JG11 ) sin(2φ),
che coincide con la definizione trovata prima per assi centrali d’inerzia.
Una volta fissato il baricentro si esamini allora il fascio di rette passante per questo e si
individuino le rette rispetto alle quali le aree che compongono il dominio abbiano maggiore e minore
inerzia.
Infine, per quanto riguarda i giratori d’inerzia e dunque le effettive lunghezze dei semiassi si
consideri che
Z
1
jn
=
d2 ,
ρ2n =
A
A B n
essendo dn = |r · n| la distanza dall’asse ortogonale a n. Dunque il quadrato del giratore coincide
con il valore medio della distanza al quadrato. Visto che
Z
d2n < A d2nmax ,
B

certamente si ha ρn < dnmax , essendo dnmax la massima distanza dall’asse. Ad esempio, per la
sezione rettangolare in Figura si ha ρ1 ' 0.58H < H.

Figura 6: Il giratore d’inerzia di un dominio rettangolare.

I

Meccanica dei corpi
continui deformabili

1

Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1
1.2

Trasporto e spostamento
Trasporti rigidi e deformazione

2

Energia e tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

Forze o energia?
Energia e principio di minimo
Assunzioni costitutive
Condizioni necessarie per un minimo locale
La deduzione di Cauchy del tensore della tensione
Più dettaglio sulle assunzioni costitutive
Il problema elastico per un corpo tridimensionale
deformabile

17
Questa parte è un compendio minimale delle nozioni relative alla meccanica dei corpi continui
deformabili che un ingegnere dovrebbe conoscere. In particolare essa è limitata all’analisi di piccole
deformazioni e di relazioni costitutive lineari. Ci limitiamo inoltre ad esaminare il limite quasi-statico
dei processi di spostamento e deformazione dei corpi deformabili. Consideremo ovvero solo processi
lentamente variabili nel tempo. Per trattazioni esaustive sulla meccanica dei corpi deformabili
rimandiamo a [Ciarlet] o a [Ogden].

1. Cinematica

La cinematica studia il movimento dei corpi e prescrive modi e regole matematiche con cui descrivere
in modo non ambiguo tale movimento.

1.1

Trasporto e spostamento
Il movimento di un corpo è naturalmente percepito come un confronto tra due configurazioni o stati
differenti del corpo. Diciamo che un corpo si è mosso o deformato se notiamo visivamente differenze
tra la configurazione “attuale” e quella precedente o “iniziale”. In questa sezione cercheremo di
rendere preciso questo processo mentale arrivando a definire il concetto di spostamento.
La configurazione di riferimento del corpo sia un sottoinsieme dello spazio ambiente tridimensionale Ω ⊂ IR3 sufficientemente regolare, compatto e monoconnesso. In particolare, richiediamo
che in ogni punto del suo bordo ∂Ω sia definito il vettore normale n.


La richiesta di avere definita in tutti i punti del bordo di Ω il vettore normale non permette
di considerare configurazioni di riferimento con spigoli. Sono possibili teorie più raffinate
dove tale limitazione viene rimossa, vedi ad esempio [], ma non ce ne occuperemo qui.

Si dice trasporto una mappa che associa a ciascun punto X della configurazione di riferimento
una posizione nello spazio ambiente. In particolare, definiamo
Definizione 1.1.1 — Trasporto. Una mappa

χ:

Ω →
X 7→

IR3
x := χ(X)

(1.1)

1. biettiva,
2. differenziabile ovvero tale che
∀v,

χ(X + v) = χ(X) + F (X) v + o(kvk),

F := Grad χ,

(1.2)

3. e il cui gradiente ha determinante positivo: det F (X) > 0 in ogni punto X ∈ Ω.
Sotto queste ipotesi il trasporto mappa punti distinti in punti distinti e mappa gli intorni di ogni
punto X in intorni del punto χ(X) senza schiacciarne il volume.

Capitolo 1. Cinematica

20

Mentre il trasporto trasforma le posizioni dei punti dalla configurazione di riferimento Ω alla
configurazione deformata χ(Ω), il suo gradiente F trasforma i vettori infinitesimi nella configurazione
di riferimento nelle loro immagini "deformate".
Un modo equivalente di descrivere il passaggio dalla configurazione di riferimento a quella
deformata è basato sul concetto di spostamento. Il campo di spostamento u è definito come
differenza tra la posizione dopo e prima del trasporto:
Definizione 1.1.2

u(X) := χ(X) − X,

da cui segue

χ(X) = X + u(X).

(1.3)

Chiaramente il campo di spostamento u “eredita” dal trasporto in termini del quale è definito il
fatto di essere differenziabile. Differenziando entrambi i membri della (1.3)1 otteniamo
Proposizione 1.1.1

G := Grad u = F − 1,

F = 1 + G,

da cui segue

(1.4)

dove 1 indica il tensore identità.
Problema. Scelta una base ortonormale (a1 , a2 , a3 ) in IR3 calcolare le matrici rappresentative

dei gradienti di trasporto e spostamento.



Usando (1.2) con v = ε aj si ha
χ(X + εaj ) − χ(X) = F (ε aj ) + o(kεk)
Da questa, proiettando nella direzione ai , si ha
Fij := ai · F aj =

χi (X + εaj ) − χi (X) o(kεk)
+
,
ε
ε

e infine passando al limite per ε → 0
Fij = lim

ε→0

∂χi
χi (X + εaj ) − χi (X)
≡
.
ε
∂Xj

Analogamente per il gradiente di spostamento si ha
Gij ≡

∂ui
,
∂Xj

con Gij = Fij − δij .

1.1 Trasporto e spostamento

21

Esercizio. Scelta un sistema di riferimento ortonormale di origine il punto o, descrivere l’azione
del trasporto
χ(X) = α X,

su un corpo la cui configurazione di riferimento è Ω = {X · X ≤ 1}.



La configurazione di riferimento è una palla di raggio unitario. Il trasporto considerato dilata o
comprime tale palla portandola in una di raggio α. Usando la (1.2) per ogni v sufficientemente
piccolo, abbiamo
χ(X + v) − χ(X) = α(X + v) − αX ' F v
da cui F = α 1 e det F = α3 . Il trasporto considerato è allora ammissibile solo se α > 0.
Esercizio. Scelta un sistema di riferimento ortonormale, si descriva l’effetto del campo di
spostamento di componenti

u1 = 2δX1 X2 ,

u2 = δ (X22 − X12 ),

u3 = 0

(1.5)

sulla configurazione di riferimento Ω = {X1 a1 + X2 a2 , |X1 | ≤ `, |X2 | ≤ `}.



La configurazione di riferimento è un quadrato di lato 2` centrato nell’origine. Calcolando lo
spostamento di diversi punti notevoli del bordo otteniamo i vettori rossi indicati a sinistra nella
Figura sottostante. Interpolando i punti di arrivo e tenendo conto che le curve X2 = cost. sono

mappate in parabole, disegnamo la configurazione deformata. Per il
la (1.4)2 , si ottiene



1 1 0
X2 X1
[F ] =  0 1 0  + 2 δ  −X1 X2
0 0 1
0
0

gradiente del trasporto, usando

0
0 ,
0

da cui det F = 1+4δ 2 (X12 +X22 )+4δX2 quantità sempre positiva su Ω. Tuttavia perchè la mappa sia
biettiva deve essere |δ| ≤ 1/2`. Ad esempio, appena δ = 1/2`, si ha χ(−`, −`) = (0, −`) ≡ χ(`, −`)
e i due spigoli vengono mappati nel medesimo punto, vedi disegno a destra nella Figura precedente.
1.1.1

Trasporto di elementi d’area e volume
Abbiamo già notato che il trasporto χ trasforma le posizioni dei punti dalla configurazione di
riferimento alla configurazione deformata, mentre il suo gradiente F trasforma i vettori infinitesimi.
Vogliamo studiare come vengono trasformate aree e volumi sotto l’azione del trasporto.
A tal fine prendiamo tre vettori infinitesimi (v, w, z) linearmente indipendenti centrati in un
generico punto X ∈ Ω. Questi individuano un intorno di X ed in particolare un pararallelepipedo di
volume non nullo con vertice in X. La seguente proposizione chiarisce come vengono trasformate le
lunghezze degli spigoli, gli angoli tra gli spigoli, le aree delle facce e il volume di tale parallelepipedo.

Capitolo 1. Cinematica

22

Proposizione 1.1.2 Comunque presi i vettori infinitesimi linearmente indipendenti (v, w, z) si ha:

kvk

lunghezza:
angolo: cos−1



v·w
kvkkwk

√

F >F v · v

7→ cos−1



F >F v · w
kF vkkF wk


(1.6)

(v × w) 7→ (det F ) F −> (v × w)

area:
volume:



7→

(v × w) · z

7→ (det F ) (v × w) · z

Dimostrazione. Per le prime due affermazioni basta considerare che v 7→ F v, w 7→ F w e che
kF vk2 = F v · F v = F >F v · v,
così come, sempre per la definizione di trasposta,
F v · F w = F >F v · w.
L’ultima affermazione segue dalla definizione di determinante di un’applicazione lineare ovvero:
det F := vol(F v, F w, F z)/vol(v, w, z).
Infine per quanto riguarda la variazione d’area (Nanson Formula) si consideri
(F v × F w) · F z = F >(F v × F w) · z = (det F )(v × w) · z,
e da quest’ultima, vista l’arbitrarietà di z,
F v × F w = (det F )F −> (v × w)

Esercizio. Con riferimento al campo di spostamento dell’esercizio precedente si calcoli la
variazione percentuale d’area dell’intero dominio Ω e la variazione d’angolo tra direzioni 1 e 2
nel generico punto.


Visto che lo spostamento in direzione 3 è nullo la variazione d’area nel piano (1, 2) è uguale alla
variazione di volume. Il volume dopo il trasporto è ottenuto integrando su Ω
0

Z

V =

Z

`

det F =
Ω

−`

`



32δ 2 `4
1 + 4δ 2 (X12 + X22 ) + 4δX2 dX1 dX2 = 4`2 +
3
−`

Z

Ne segue
V0−V
8 δ 2 `2
A0 − A
=
=
.
A
V
3
Con semplici calcoli si deduce che il tensore F >F che interviene nel determinare la variazione
d’angolo è diagonale. In altri termini
a2 · (F >F )a1 = 0,

∀X ∈ Ω,

e, dunque, le direzioni 1 e 2 rimangono in ogni punto ortogonali.

1.2

Trasporti rigidi e deformazione
Nella sezione precedente abbiamo studiato come cambiano lunghezze, angoli, aree e volumi sotto
l’azione di un trasporto. Intuitivamente noi definiamo come rigida una trasformazione (o trasporto)
che lasci inalterate in ogni punto tutte queste caratteristiche geometriche. Più precisamente:

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

23

Definizione 1.2.1 Un trasporto si dice rigido se

kχ(Y ) − χ(X)k = kY − Xk,

∀X, Y ∈ Ω

Vista l’arbitrarietà dei punti X e Y è evidente che la precedente definizione è sufficiente ad
assicurare che le variazioni di lunghezze, angoli, aree e volumi siano ovunque nulle. Il seguente
importante teorema riformula la precedente definizione di trasporto rigido con una condizione
equivalente più facile da verificare.
Trasporto rigido. Un trasporto è rigido se e solo se il suo gradiente uguaglia in ogni punto una
medesima rotazione (tensore ortogonale a determinante positivo):

F (X) = R̄ ∈ Orth+

(1.7)

Dimostrazione. (⇐): Se F (X) = R̄ allora, in ogni punto X, si ha
F >F = R̄>R̄ = 1,

det F = det R̄ = 1.

Ne segue dalle (1.6) che in ogni punto volumi, aree, lunghezze ed angoli non cambiano per effetto
del trasporto. Questo è dunque rigido.
(⇒): Se il trasporto è rigido allora, in ogni punto, perchè lunghezze e angoli non varino, deve essere
F >(X)F (X) = 1. Dal teorema di decomposizione polare si ha U (X) = 1 in tutti i punti.
Rimane da dimostrare che R(X) = F (X)U −1 ≡ F (X) è indipendente da X. Per questo è
essenziale il fatto che il campo tensoriale F sia il gradiente di un’applicazione. Infatti per la
simmetria delle derivate seconde miste:
(Rot F )ij = −εiαβ Fjα,β = −εiαβ χj,αβ = 0,
ma anche, usando la decomposizione polare con Ulα = δlα ,
(Rot F )ij = −εiαβ Fjα,β = −εiαβ (Rjl,β Ulα + Rjl Ulα,β ) = −εiαβ Rjα,β .
Uguagliando queste ultime due relazioni e premoltiplicando per Rjh si ottiene
εiαβ Rjh Rjα,β = 0.
Se per parametrizzare R si prendono i tre angoli di Eulero il precedente è un sistema lineare
omogeneo di rango massimo di 9 equazioni in 9 incognite (le derivate dei tre angoli nelle tre direzioni
coordinate). Le variazioni spaziali del campo di rotazione sono dunque nulle e dunque R(X) = R̄
indipendentemente dal punto considerato.

Il codice seguente è una simulazione istruttiva: anche se il gradiente del trasporto è una
rotazione in ogni punto, tale rotazione non deve dipendere da X perchè il trasporto sia rigido.
Nella simulazione vedrete l’azione di una rotazione affine nelle coordinate


cos ϕ − sin ϕ
R(ϕ) :=
,
ϕ(X) = c + aX1 + bX2 ,
sin ϕ cos ϕ
al variare dei parametri. Appena a 6= 0 oppure b 6= 0, e dunque l’angolo varia spazialmente, noterete
che il trasporto non è rigido.
cut and paste in Wolfram Mathematica c (version ≥ 6)
pts = {{1, 1}, {-1, 1}, {-1, -1}, {1, -1}};
Manipulate[chi[{X1_,X2_}] = RotationMatrix[c + a X1 + b X2].{X1, X2};
Graphics[{{LightGray, EdgeForm[Gray], Polygon[pts]},
{Orange, Opacity[0.5], EdgeForm[Gray], Polygon[chi/@pts]}}, PlotRange -> 1]
,{{a, 0}, -1, 1, .1}, {{b, 0}, -1, 1, .1}, {{c, 0}, -Pi, Pi, .1}]

Capitolo 1. Cinematica

24

Esercizio. Il campo di spostamento (1.5) analizzato in precedenza è rigido?



La risposta è particolarmente semplice visto che per tale campo di spostamento avevamo calcolato
det F = 1 + 4δ 2 (X12 + X22 ) + 4δX2 .
Essendo det F =
6 1, F non può essere una rotazione e dunque il trasporto non è rigido.
In effetti il seguente teorema di rappresentazione ci dice come sono costituiti tutti i trasporti
rigidi.
Proposizione 1.2.2 Un trasporto rigido (o congruenza) è caratterizzato univocamente dalla scelta di

una translazione ū ∈ IR3 e di una rotazione R̄ ∈ Orth+ :
χ(X) = X0 + ū + R̄ (X − X0 ) = X + ū + (R̄ − 1) (X − X0 ) .

(1.8)

X+u
X

X0

X0 +u

o

Come mostrato in Figura, la configurazione di riferimento del corpo Ω è in generale prima translata
e quindi ruotata intorno al punto X0 + ū.
1.2.1

Definizioni di deformazione
La parola deformazione vuole significare una variazione di forma del corpo. Poichè, come abbiamo
appena visto, in un trasporto rigido la forma del corpo non varia, risulta naturale pensare alla
deformazione come un difetto di rigidità. In particolare, noi definiamo deformazione il seguente
campo tensoriale
Definizione 1.2.2 — Deformazione di Green-Lagrange.

E=


1
F >F − 1
2

(1.9)

che risulta ovunque nullo se il trasporto è rigido. Si noti che il fattore 1/2 non è strettamente
necessario ma tornerà utile nel seguito.
La (1.9) può essere scritta in maniera equivalente in termini del gradiente di spostamento.
Ricordando la (1.4), si ha F = 1 + G, F > = 1 + G> e, dunque,
E=

 1
1 
1
(1 + G> )(1 + G) − 1 = (G + G> ) + G>G,
2
2
2

(1.10)

ovvero, in termini di componenti sulla base canonica
Eij =

ui,j + uj,i
uh,i uh,j
+
.
2
2

Queste ultime espressioni del campo di deformazione sono particolarmente espressive perché ci
fanno notare una cosa importante: vista la presenza del termine quadratico G>G, la deformazione
non è una funzione lineare del campo di spostamento!
Immaginiamo di avere due campi di spostamento uA e uB e calcoliamo le relative deformazioni
EA e EB indotte sul corpo. Quindi consideriamo il campo di spostamento uA+B = uA + uB
ottenuto applicando in sequenza i precedenti e calcoliamo la deformazione EA+B . In generale
EA+B 6= EA + EB ,

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

25

ovvero non vale la sovrapposizione degli effetti.
Tuttavia, se la norma del gradiente del campo di spostamento fosse molto piccola, allora tutte
le sue componenti Gij sarebbero piccole ed i termini quadratici in (1.10) sarebbero trascurabili
rispetto ai termini lineari. In altri termini

se

kGk  1

allora

E :=

1
(G + G> ) ' E
2

(1.11)

Al tensore E appena definito e di componenti
Eij =

ui,j + uj,i
,
2

si dà il nome di deformazione infinitesima per alludere al fatto che esso rappresenta una buona
misura della deformazione quando le componenti del gradiente di spostamento sono quantità
infinitesime. Nell’esempio precedente si avrebbe
EA+B = EA + EB
e, quindi, per il tensore di deformazione infinitesima vale la sovrapposizione degli effetti. Perchè
quest’ultimo sia una buona misura della deformazione non dobbiamo dimenticare che deve essere
kGk  1.
Si consideri il campo di spostamento di componenti
u1 = βX2 ,

u2 = −βX1 ,

u3 = 0,

(1.12)

Descrivere l’azione di tale campo di spostamento sul dominio Ω = {0 ≤ X1 ≤ `, 0 ≤ X2 ≤ `} e
calcolare le misure di deformazione finita E e infinitesima E.

L’azione del campo si spostamento sul dominio in questione è mostrata nella Figura sottostante.
Mentre, ad una prima impressione questa potrebbe
psembrare una rotazione, a ben vedere i lati della
configurazione deformata sono più lunghi ` 7→ ` 1 + β 2 ' `(1 + β 2 /2). L’allungamento dei lati
(`0 − `)/` ' β 2 /2 è una funzione quadratica del parametro β allorchè β  1.

In effetti, se si calcola il gradiente del campo

0 β
[G] =  −β 0
0
0

di spostamento si ottiene

0
√
0 ,
kGk = 2 β.
0

Essendo il gradiente antisimmetrico, G ∈ Skw, il tensore di deformazione infinitesima, che rappresenta la parte simmetrica del gradiente di spostamento, è nullo, E = 0. Tuttavia la deformazione

Capitolo 1. Cinematica

26
di Green-Lagrange vale
β 2 /2

0
[E] =
0



0
0
β 2 /2 0  .
0
0

Da questo desumiano che il campo di spostamento considerato implica una deformazione (E 6= 0),
ma se la norma del gradiente è piccola (ovvero se β  1) allora tale deformazione può essere
considerata nulla (E ' E = 0), cfr. (1.11).
1.2.2

Significato delle componenti del tensore di deformazione infinitesima
Se il gradiente di spostamento é sufficientemente piccolo, il gradiente del trasporto non è troppo
dissimile dal tensore identità. Più precisamente, definite
η := kGk  1,

Ĝ := G/kGk,

(1.13)

ne risulta
F = 1 + G = 1 + η Ĝ

(1.14)

e dunque la distanza kF − 1k = kη Ĝk = η  1 è piccola. Sotto queste ipotesi le variazioni di
lunghezze, angoli, aree e volumi viste in precedenza risultano avere espressioni particolarmente
semplici in termini del solo tensore di deformazione infinitesima E.
In particolare, la lunghezza dopo il trasporto di un vettore infinitesimo risulta
q
√
Ev · v
>
kF vk = F F v · v ' (1 + η(Ĝ + Ĝ> ) + O(η 2 ))v · v ' kvk +
,
(1.15)
kvk
√
√
√
dove abbiamo usato la serie di Taylor della funzione a + η b + ... ' a+η b/(2 a).
L’allungamento di un generico vettore infinitesimo v vale allora
kF vk − kvk
Ev · v
'
.
kvk
kvk2

(1.16)

Se si sceglie v = ε ai , l’allungamento risulta pari a Eai · ai = Eii . Dunque i termini sulla diagonale
della matrice che rappresenta E misurano gli allungamenti dei vettori infinitesimi nelle direzioni
scelte come base.
Analogamente si scelgano nella configurazione di riferimento due vettori infinitesimi v e w
inizialmente ortogonali. L’angolo tra i vettori dopo il trasporto è allora


Fv · Fw
φ = cos−1
.
kF vk kF wk
Per F = 1 + η Ĝ, la precedente relazione diviene una funzione di η. Espandendo in serie di Taylor
per η  1 otteniamo che:
l’angolo tra due generici vettori infinitesimi ed ortogonali dopo il trasporto vale


v·w
π
φ ' cos−1
− η (Ĝ> + Ĝ)v · w = − 2 Ev · w.
kvk kwk
2

(1.17)

Se si scelgono v = ε ai e w = εaj , la variazione d’angolo risulta pari a 2Eai · aj = 2Eij . Dunque i
termini fuori diagonale della matrice che rappresenta E misurano metà delle variazioni d’angolo
tra le direzioni scelte come base.
Infine, ricordando la regola di derivazione del determinante:
∂detF (η)
∂detF ∂F (η)
∂F (η)
=
·
= detF F −> ·
,
∂η
∂F
∂η
∂η
per F (η) = 1 + η Ĝ, otteniamo che

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

27

il rapporto tra volume deformato e volume indeformato vale
det F ' 1 + η 1−> · Ĝ = 1 + trE.

(1.18)

Dunque la traccia di E misura la variazione percentuale di volume.
Si considerino i campi di spostamento
(A) u1 = αX1 ,
(B) u1 = γX2 /2,

u2 = 0,

u3 = 0.

u2 = γX1 /2,

(1.19)
u3 = 0.

(1.20)

Si calcolino variazioni di lunghezze, angoli e volume (=area) nell’ipotesi α  1 e γ  1.



Nel primo caso (A), visto che kGk = α  1, possiamo approssimare la deformazione con la
deformazione infinitesima. Si ha:


α 0 0
[EA ] =  0 0 0  .
0 0 0
Dunque solo i vettori in direzione a1 subiscono un allungamento non nullo e pari a α, le variazioni
d’angolo tra tutte le direzioni coordinate sono nulle e la variazione di volume vale trE = α, cfr.
Figura.

(A)

(B)

√
Anche nel secondo caso (B), poichè kGk = γ/ 2  1 è sufficiente calcolare


0
γ/2 0
0
0 .
[EB ] =  γ/2
0
0
0
Nessuna direzione coordinata subisce allungamento, l’unica variazione d’angolo tra direzioni coordinate avviene tra le direzioni a1 e a2 e vale γ, mentre non vi sono variazioni di volume, cfr
Figura.
1.2.3

Una decomposizione notevole del tensore di deformazione
La decomposizione di ogni tensore V → V in parte sferica e deviatorica (vedi Sezione 0.1) è
particolarmente utile nel caso del tensore di deformazione infinitesima E.
In effetti, pensare decomposto il tensore nel modo seguente
1
(trE) 1 + dev E,
(1.21)
3
corrisponde a separare la generica deformazione nella somma di due effetti distinti:
• una variazione di volume del corpo (di cui è responsabile la parte sferica) e ...
• ... una variazione di forma del corpo senza ulteriori variazioni di volume (di cui è responsabile
la parte deviatorica).
La Figura 1.1 illustra tale decomposizione in un caso specifico:
E=

Capitolo 1. Cinematica

28

Figura 1.1: Una medesima deformazione può essere pensata come (destra) somma di una variazione
di forma (dalla conf. grigia alla conf. tratteggiata) e di una variazione di volume (dalla conf.
tratteggiata alla conf. nera) o (sinistra) viceversa.
1.2.4

Cambiamento del sistema di riferimento
Come ogni tensore, la deformazione infinitesima può essere espressa attraverso una matrice solo
dopo aver scelto il sistema di riferimento.
Se si considerano i due sistemi di riferimento (o, a1 , a2 ) e (o, â1 , â2 ) si ha:
E = Eij ai ⊗ aj = Êhk ah ⊗ ak .

(1.22)

Per calcolare le componenti Êhk in termini delle componenti Eij è sufficiente ricordare che:
Êhk = E âk · âh = (Eij ai ⊗ aj )âk · âh = (aj · âk ) (ai · âh ) Eij .

(1.23)

Se, come spesso avviene, la base (â1 , â2 ) è ottenuta tramite una rotazione Q della base (a1 , a2 )
ovvero se âh = Qah allora aj · âk = aj · Qak = Qjk e, dunque, la precedente si riscrive
Êhk = Qih Eij Qjk ,

(1.24)

o in termini di prodotti tra matrici [Ê] = [Q]> [E][Q].
1.2.5

Direzioni principali di deformazione
Data il tensore di deformazione E ha senso porsi il seguente problema di autovalori:
Enk = εk nk ,

knk k = 1.

(1.25)

Un noto teorema ci assicura del fatto che essendo E ∈ Sym gli autovalori εk sono numeri reali e
che gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono direzioni ortogonali:
(εk − εh ) nk · nh = 0.
Visto che εk = Enk · nk ciascun autovalore fisicamente indica l’allungamento nella direzione
del corrispondente autovettore. Per questo motivi gli autovalori di E vengono spesso designati
come allungamenti principali. Si nota inoltre che in ogni piano che contenga un autovettore lo
scorrimento angolare è nullo: se infatti m⊥nk risulta Enk · m = εk nk · m = 0.
Il problema di autovalori equivale dunque a cercare un sistema di riferimento ortonormale in cui
il tensore di deformazione sia rappresentato da una matrice diagonale (diagonalizzazione di E).
Cerchio di Mohr

Un caso particolarmente importante e ricorrente è quello delle deformazioni piane ovvero delle
deformazioni a determinante nullo det E = 0. Ricordando che det E = ε1 ε2 ε3 , la condizione di
avere determinante nullo impone almeno un autovalore (=allungamento principale) nullo. Nella
direzione dell’autovettore associato la deformazione ha allora tutte le componenti nulle.

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

29

In generale, previa una opportuna scelta del sistema di riferimento principale, una deformazione
piana è rappresentata dalla matrice


E11 E12 0
[E]piana =  E12 E22 0  ,
(1.26)
0
0
0
avendo scelto la direzione a3 come la direzione principale corrispondente all’allungamento nullo.
Per uno stato di deformazione piana esiste una rappresentazione grafica particolarmente efficace
dello stato di tensione. A questo scopo, e con riferimento alla scelta (1.26), si scelgono nel piano 12
le direzioni mutuamente ortogonali n = cos ϕa1 + sin ϕa2 e m = − n = sin ϕa1 − cos ϕa2 , vedi
Figura 1.2.5. L’allungamento εn nella direzione n vale:
εn (ϕ) = En · n = E22 sin2 ϕ + E12 sin(2ϕ) + E11 cos2 ϕ,

(1.27)

mentre metà dello scorrimento angolare γmn tra le direzioni n e m vale:
γnm (ϕ)
E11 − E22
= En · m =
sin(2ϕ) − E12 cos(2ϕ).
2
2

(1.28)

Le (1.27) e (1.28) rappresentano le equazioni parametriche di una curva nel piano (εn , γnm /2)
(Piano di Mohr). In particolare tale curva è una circonferenza con centro sull’asse εn ; in effetti,
eliminando ϕ dalla combinazione delle (1.27) e (1.28), si ottiene:

2
 γ 2
E11 + E22
E11 − E22
mn
2
2
2
2
=R
con εc :=
(εn − εc ) +
e R :=
+ E12
.
2
2
2
I parametri εc e R sono evidentemente sufficienti a costruire la circonferenza di Mohr nel
piano (εn , γnm /2). Resterebbe tuttavia interminata la sua parametrizzazione; in altri termini
non sapremmo a quale punto del cerchio corrisponda una definita direzione ϕ e viceversa. Per
individuare univocamente tale parametrizzazione, espressa nelle (1.27) e (1.28), si correda il cerchio
di un punto speciale che si chiama polo delle direzioni. Si procede alla costruzione come segue:
1. Si individuano i due punti del cerchio relativi alle scelte
O: ϕ=0

⇒ n ≡ a1 , m ≡ −a2

⇒ (εn , γnm /2) = (E11 , −E12 )

V : ϕ = π/2

⇒ n ≡ a2 , m ≡ a1

⇒ (εn , γnm /2) = (E22 , E12 )

2. Si congiungono i punti O e V individuando, all’intersezione con l’asse εn , il centro C del
cerchio e dunque il suo raggio R = kCV k = kCOk
3. Portando l’orizzontale per O e la verticale per V si individua un punto del cerchio che si
chiama polo delle direzioni; esso ha coordinate H = (E22 , −E12 )

Figura 1.2: Scelta di Mohr delle direzioni n e m. Costruzione di cerchio e polo delle direzioni H.
Fatta questa costruzione abbiamo corredato il cerchio di Mohr di un punto (polo delle direzioni)
che permette di parametrizzarlo in termini dell’angolo ϕ. In effetti si dimostra che il punto

Capitolo 1. Cinematica

30

(εn (ϕ), γnm (ϕ)/2) si determina come intersezione tra il cerchio e la retta per il punto H inclinata
di un angolo ϕ rispetto all’orizzontale. In particolare, frecce rosse nella Figura 1.2.5, abbiamo
individuato le direzioni corrispondenti agli allungamenti massimo e minimo ovvero le direzioni
principali di deformazione.
1.2.6

Dalla deformazione allo spostamento: le equazioni di compatibilità
Ci poniamo ora il problema di determinare il campo di spostamento corrispondente ad una certa
deformazione data. In altre parole vogliamo risolvere in u le equazioni di congruenza


Grad u + Grad u>
ui,j + uj,i
= E,
= Eij
(1.29)
2
2
una volto noto il tensore E(X) in ogni punto X ∈ Ω.
Partiamo esaminando un problema più semplice perchè di ordine tensoriale più basso: noto il
campo vettoriale v su un certo dominio bidimensionale Ω, si determini la funzione ϕ tale che
grad ϕ(X) = v(X),

∀X ∈ Ω.

(1.30)

In altri termini ci viene richiesto di determinare una funzione dalla conoscenza delle sue derivate
parziali in ogni punto di un dominio. Un problema simile non ha sempre soluzione perchè esistono
molti campi vettoriali che non sono il gradiente di alcuna funzione scalare.
Per convincersi di questo basta prendere un qualunque circuito chiuso Γ ∈ Ω; la variazione
totale della funzione ϕ su un tale percorso deve essere evidentemente nulla
I
I
I
0=
dϕ =
grad ϕ · t =
v · t,
∀Γ ∈ Ω
Γ

Γ

Γ

Ne deduciamo che una condizione necessaria perchè v sia il gradiente di una qualche funzione
è che esso abbia circolazione nulla su qualunque percorso chiuso del dominio. Se il dominio Ω
è semplicemente connesso questa condizione può essere “localizzata” nel senso che possiamo far
tendere in maniera continua ogni percorso chiuso Γ ad un percorso infinitesimo intorno al generico
punto X. Se prendiamo infatti un intorno D del punto X possiamo scegliere nella precedente
Γ = ∂D per ottenere
I
I
Z
0=
dϕ =
v·t=
rot v.
∂D

∂D

D

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato il teorema del rotore. Vista l’arbitrarietà dell’intorno nel
limite otteniamo che deve essere rot v = 0 in ogni punto X del dominio 1 .
Si dimostra il seguente importante teorema
Integrabilità dei campi vettoriali. Se il dominio Ω è semplicemente connessoa condizione

necessaria e sufficiente perchè esista ϕ tale che (1.30) è che
Rot v = 0,
a per

(per componenti: εijh vj,h = 0) ∀X ∈ Ω.

(1.31)

i nostri fini questa condizione è equivalente a richiedere che il dominio Ω non abbia buchi.

Esercizio. Determinare la funzioni scalare ϕ(X1 , X2 ) il cui gradiente sia pari a

(A) vA (X) = X = X1 a1 + X2 a2 ,
(B) vB (X) =

X = −X2 a1 + X1 a2 ,

nel dominio Ω ≡ IR2 .
1 Analogamente



se si scrive il sistema (1.30) per componenti (ϕ,i = vi ) e si deriva in direzione j si ottiene
ϕ,ij = vi,j

da cui

vi,j − vj,i = ϕ,ij − ϕ,ji = 0

visto che le derivate seconde miste di una funzione sono uguali.

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

31

Il dominio IR2 è semplicemente connesso e, dunque, vale il teorema precedente. Nel caso (A)
il rotore del campo vettoriale è nullo (rot vA = X2,1 − X1,2 = 0) mentre nel secondo caso (B) il
rotore non è nullo (rot vB = X1,1 + X2,2 = 2). Dunque solo nel primo caso possiamo trovare una
soluzione. Dal sistema
(
(
ϕ,1 = vA1 = X1 ,
ϕ(X1 , X2 ) = X12 /2 + g(X2 ),
X 2 + X22
.
si ottiene
⇒ ϕ(X1 , X2 ) = 1
2
ϕ,2 = vA2 = X2 ,
ϕ,2 = ∂g(X2 )/∂X2 = X2 ,
Le curve isolivello di tale funzione e il campo gradiente che l’ha generata sono mostrate a sinistra
nella Figura 1.2.6. La medesima Figura mostra anche perchè non può esistere una funzione che

Figura 1.3: Rappresentazione dei campi vettoriali vA (X) (a sinistra) e vB (X) (al centro). Non
esiste una funzione ad un sol valore con curve isolivello ortogonali al campo vB (a destra).
abbia il campo vB come gradiente. Se, infatti esistesse le sue curve isolivello sarebbero in ogni punto
ortogonali al campo vettoriale. Ma allora se integrassimo la funzione su un qualunque percorso
chiuso Γ si avrebbe
I
dϕ 6= 0!
Γ

Alziamo ora l’ordine tensoriale del problema esaminando il problema della determinazione del
campo di spostamento u a partire dalla conoscenza del suo gradiente G:
Grad u(X) = G(X),

∀X ∈ Ω.

(1.32)

Se scriviamo queste equazioni per componenti
ui,j = Gij ,

⇒



 u1,j = G1j ,
u2,j = G2j ,


u3,j = G3j ,

ci rendiamo conto che queste rappresentano tre problemi simili al precedente per le determinare le
funzioni u1 , u2 e u3 una volta note le righe della matrice [G]. Condizione necessaria per l’esistenza
di una soluzione è che siano nulli i rotori delle tre righe di [G].
Integrabilità dei campi tensoriali. Se il dominio Ω è semplicemente connesso condizione necessaria
e sufficiente perchè esista u tale che (1.32) è che

Rot G = 0 (per componenti: εijh Gmj,h = 0) ∀X ∈ Ω.

(1.33)

Finalmente torniamo al nostro problema di partenza (1.29). Esso non è nella forma (1.32) come
potrebbe sembrare a prima vista: il sistema (1.32) è infatti costitutito da 9 equazioni nelle tre
incognite u1 ,u2 e u3 , mentre le equazioni di congruenza vanno rsiolte nelle medesime incognite ma
sono solo 6 equazioni vista la simmetria del tensore E. Le condizioni per l’integrabilità di (1.29)
sono allora differenti. In particolare si dimostra il seguente importante teorema:

Capitolo 1. Cinematica

32

Integrabilità del campo di deformazione infinitesima. Se il dominio Ω è semplicemente connesso
condizione necessaria e sufficiente perchè esista u tale che (1.29) è che

Rot Rot E = 0 (per componenti: εnik εmjh Eij,hk = 0) ∀X ∈ Ω.

(1.34)

Il campo u è determinato a meno di uno spostamento infinitesimo rigido.
Dimostrazione. (⇒) Sia 2Eij = ui,j + uj,i . Operando il rotore di entrambi i membri otteniamo
2(Rot E)mi = −2εmjh Eij,h = −εmjh ui,jh − εmjh uj,ih = −εmjh uj,ih
essendo εmjh = −εmhj mentre ui,jh = ui,hj . Se operiamo nuovamente il rotore della precedente
otteniamo
2(Rot Rot E)nm = 2εnik εmjh Eij,hk = εnik εmjh uj,ihk = 0
essendo εnik = −εnki mentre uj,ihk = uj,khi .
(⇐) Si suppone Rot Rot E = 0 in tutto il dominio. Per ogni percorso Γ ⊂ Ω che connette due punti
X e Y il campo di spostamento è
Z

Γ(Y )

u(X) − u(Y ) =

Z

Γ(Y )

Grad u · t =
Γ(X)

(E + W ) · t
Γ(X)

essendo W = (Grad u − Grad u> )/2 la parte antisimmetrica del gradiente di spostamento. Il
campo vettoriale u così definito è univocamente determinato se per Γ ≡ ∂D
I
Z
Z
0=
(E + W ) · t =
(Rot E + Rot W ) · n =
(Rot E − Grad w) · n,
(1.35)
∂D

D

D

poichè, indicando con w il vettore assiale di W , si ha
(Rot W )im = −εijh Wmj,h = −εijh um,jh + εijh uj,mh = εijh uj,mh = (εijh uj,h ),m = −(Grad w)im .
Ma la (1.35) é certamente verificata. Infatti, applicando la condizione di integrabilità (1.33) al
tensore Rot E, esiste certamente un campo vettoriale w tale che Grad w = Rot E. Il campo w è
determinato univocamente dalla
Z

Γ(Y )

w(X) − w(Y ) =

Z

Γ(Y )

Grad w · t =
Γ(X)

Rot E · t
Γ(X)

Evidentemente le scelte di u(Y ) e di w(Y ) sono arbitrarie e rappresentano un arbitrario campo di
spostamento rigido.

È facile rendersi conto che il tensore che esprime il doppio rotore del campo di deformazione è
simmetrico. Dunque le equazioni di compatibilità linearmente indipendenti sono in generale solo 6;
per problemi di deformazione piana solo una di queste componenti rimane non nulla.
Ad esempio, con riferimento al caso di una deformazione piana nel piano 12 (Ea3 · ai = 0 per
i = 1, 2, 3), la condizione di integrabilità si riduce alla sola
(Rot Rot E)33 = E11,22 + E22,11 − 2E12,12 = 0,
le altre essendo banalmente verificate.
Esercizio. Data la deformazione infinitesima:

E11 = 2δX2 , E12 = 0, E22 = 2δX2 , E3i = 0, per i = 1, 2, 3
calcolare il campo di spostamento associato.



1.2 Trasporti rigidi e deformazione

33

Si tratta di un problema di deformazione piana; le equazioni da integrare sono solo tre:
E11 = u1,1 ,

E12 = (u1,2 + u2,1 )/2,

E22 = u2,2 ,

(1.36)

nelle funzioni incognite u1 (X1 , X2 ) e u2 (X1 , X2 ). La condizione di compatibilità E11,22 + E22,11 −
2E12,12 = 0 è facilmente verificata e, dunque, esiste una soluzione.
Integrando in X1 la prima e integrando in X2 la terza delle (1.36), otteniamo
u2 (X1 , X2 ) = δX22 + h(X1 ).

u1 (X1 , X2 ) = 2δX1 X2 + g(X2 ),
Sostituendo questi risultati nella seconda delle (1.36)

0 = 2δX1 + ∂g(X2 )/∂X2 + ∂h(X1 )/∂X1
verificata se g(X2 ) = c1 + c3 X2 e h(X1 ) = −δX12 + c2 − c3 X1 . In definitiva la soluzione è
u1 = 2δX1 X2 +c1 + c3 X2 ,

u2 = δ(X22 − X12 )+c2 − c3 X1 ,

ovvero a meno delle costanti (spostamento infinitesimo rigido) il campo di spostamento studiato in
precedenza e descritto in Figura 1.1.

2. Energia e tensione

Finora abbiamo studiato come descrivere lo stato di un corpo deformabile tramite spostamenti e
deformazioni. Deduciamo ora le equazioni che ne governano la meccanica a partire da un principio
di minimizzazione dell’energia.

2.1

Forze o energia?
In qualunque teoria fisica il concetto di energia (o lavoro) gioca un ruolo fondamentale. Usiamo e
parliamo comunemente di moltissime forme di energia (chimica, elettrica, cinetica, ...) e assistiamo
ogni istante al fluire dell’energia da una forma all’altra1 . In particolare, in meccanica si definisce
energia (o lavoro) la quantità scalare
L = F u,

(2.1)

definita dal prodotto della forza F per lo spostamento u di un dato corpo. L’energia sembrerebbe
dunque un concetto derivato dal concetto di “forza”.
A ben vedere nella relazione (2.1) le uniche due quantità che possiamo fisicamente misurare
sono u e L. Pensiamo ad un piccolo esperimento ideale in cui prendiamo un oggetto e lo solleviamo:
certamente possiamo misurare la variazione d’altezza (u) dell’oggetto in questione e certamente
proviamo personalmente la fatica fatta (L) nel sollevarlo. È solo a partire da queste due informazioni
che pensiamo:
• ho sollevato di un metro questo oggetto e ho fatto poca fatica: l’oggetto “pesa” poco o ...
• ... ho sollevato di un metro questo oggetto e ho fatto molta fatica: l’oggetto “pesa” molto.
In altri termini nei nostri processi mentali usiamo naturalmente la relazione inversa F = L/u
esprimendo la forza come l’energia che dobbiamo spendere per ottenere un dato spostamento. E
non potremmo fare altrimenti perchè nessuno ha mai direttamente misurato una forza.
Per questa ragione, e per diverse altre che sarà più facile chiarire in seguito, dedurremo
le equazioni che governano la meccanica dei corpi deformabili da un principio che coinvolge
esclusivamente spostamenti ed energia. Il concetto di forza e di tensione (o di forza interna tra gli
elementi di un corpo) saranno per noi concetti derivati, strumentali per definire le diverse forme di
energia.
1 In

un sistema chiuso l’energia si conserva ma passando da forme “piú ordinate” a forme “meno ordinate” [8].

Capitolo 2. Energia e tensione

36

2.2

Energia e principio di minimo
Vi sono essenzialmente solo due forme di energia nello studio delle trasformazioni reversibili2
quasi-statiche3 di un corpo deformabile: il lavoro applicato al corpo dall’esterno Lext e l’energia
elastica interna Ee .
La prima è il lavoro o la fatica che sperimentiamo nello spostamento dei punti materiali di un
qualunque corpo. In prima approssimazione, l’esperienza ci dice che questo lavoro è proporzionale
allo spostamento: maggiore lo spostamento, maggiore la fatica! Sembra dunque naturale assumere
Lext = Lext (u),

con Lext (αu + β ũ) = α Lext (u) + β Lext (ũ),

∀α, β ∈ IR

(2.2)

ovvero Lext lineare nello spostamento.
Evidenza della seconda forma di energia si ha nell’imprimere una deformazione ad un oggetto
deformabile. In tal caso, l’esperienza ci dice che la fatica fatta i) dipende dal livello di deformazione
che cerchiamo di imprimere al corpo, ii) diviene nulla se la deformazione che imponiamo è evanescente
ma iii) resta comunque positiva per qualunque scelta di deformazione non nulla4 . Sembra dunque
naturale assumere
Ee = Ee (E),

con Ee (E = 0) = 0

e

Ee (E 6= 0) > 0.

(2.3)

Inoltre, in molti materiali si nota che imporre una deformazione o la sua opposta comporta, almeno
per livelli sufficientemente bassi di deformazione, la medesima spesa energetica
Ee (E) = Ee (−E),

se kEk  1.

(2.4)

Nel caso di un corpo deformabile tridimensionale spostamento e deformazione sono descritti
rispettivamente da un campo vettoriale u e da un campo tensoriale E.
Indicando con U := {u : IR3 7→ IR3 , ui (Xj ) sufficientemente regolare} lo spazio funzionale dei
possibili campi di spostamento si ha:
Lext (·) : U 7→ IR,

Ee (E(·)) : U 7→ IR.

ovvero lavoro esterno e energia elastica devono essere dei funzionali (ovvero funzioni di funzioni)
che associano ad ogni scelta del campo di spostamento un valore reale.
Assumeremo come valido il seguente principio e ce ne serviremo per risolvere ogni problema
relativo alla meccanica dei corpi deformabili.
Principio di minimo. Il campo di spostamento u di un corpo deformabile caratterizzato
dall’energia elastica Ee e soggetto al lavoro esterno Lext minimizza l’energia totale:

min Etot (u),
u∈U

2.3

Etot (u) := Ee (E(u)) − Lext (u).

(2.5)



Il segno negativo del lavoro esterno nella definizione dell’energia totale in (2.5) evidenzia il
fatto che il contributo energetico Lext proviene dall’esterno del sistema “corpo”.



Ci riserviamo di specificare più tardi il requisito di “sufficiente regolarità” usato nella
definizione di U. Certamente sappiamo che, al fine di definire E(u), le componenti dello
spostamento ui (Xj ) devono essere almeno differenziabili.

Assunzioni costitutive
Le scelte dei funzionali Lext e Ee sono scelte dal modellista per riflettere le proprietà costitutive di
un dato problema. Ci troviamo difronte un dato corpo deformabile reale che presumiamo avere, o
2 Tale

termine allude al fatto che trascuremo nella trattazione ogni forma di dissipazione.
termine allude al fatto che trascuremo nella trattazione ogni forma di energia cinetica.
4 si veda la sezione ?? per un esame più approfondito.
3 Tale

2.3 Assunzioni costitutive

37

di cui testiamo, certe proprietà; queste ci guidano nella scelta di un funzionale di energia che le
rispecchi dal punto di vista matematico. Mentre per Lext la condizione di linearitá (2.2) richiesta
risulta estremamente vincolante, la scelta del funzionale Ee sarà più complessa. Ee caratterizza il
materiale di cui è costitutito il corpo specificando l’energia elastica immagazinata per ogni scelta
del livello di deformazione.
In particolare, il teorema di rappresentazione di Riesz impone che ogni funzionale lineare
Lext : U 7→ IR si scriva nella forma
Z
Z
Lext (u) =
b(X) · u(X) dV +
t(X) · u(X) dA.
(2.6)
Ω

∂Ω

Al variare dei “coefficienti” b e t descriviamo tutti i possibili funzionali lineari che soddisfano (2.2).
Per il problema in esame b e t sono in realtà dei campi vettoriali che specificano in ogni punto X
del corpo il valore dei coefficienti con cui pesare ogni componente dello spostamento in quel punto;
ad esempio
b(X) · u(X) = bi (X)ui (X).
In particolare il campo
b : Ω 7→ IR3
si chiama campo delle forze di volume e serve ad esprimere il lavoro compiuto dalla gravità, dalle
azioni elettromagnetiche a distanza o da tutte le possibili azioni esterne che agiscono in proporzione
al volume. Ogni componente delle forze di volume ha dimensioni fisiche [bi ] = J/m4 = N/m3 .
Il campo
t : Ω 7→ IR3
si chiama campo delle forze di contatto e serve ad esprimere il lavoro compiuto da azioni agenti sulla
superficie del corpo che agiscono in proporzione all’area. Ogni componente delle forze di contatto
ha dimensioni fisiche [ti ] = J/m3 = N/m2 .
Per quanto riguarda l’energia elastica, le condizioni (2.3) e (2.4) non sono sufficienti a caratterizzarne la forma come nel caso del lavoro esterno. Possiamo tuttavia pensare che ogni elemento del
corpo contribuisca in ragione del suo volume all’energia elastica totale e, quindi, scrivere quest’ultima
sotto forma di integrale:
Z
Ee (E) =
ψ(E) dV,
(2.7)
Ω

La funzione ψ : Sym 7→ IR rappresenta la densità volumica di energia elastica del corpo; perchè
siano senz’altro realizzate le condizioni (2.3) assumiano
ψ(0) = 0 e ψ(E) > 0, ∀E 6= 0 ∈ Sym ,

(2.8)

Se inoltre vogliamo garantire le (2.4) assumiamo
ψ(E) = ψ(−E),

∀E ∈ Sym , kEk  1.

(2.9)

Notiamo che la scelta più semplice per garantire (2.8) e (2.9) è scegliere la densità di energia elastica
come una funzione quadratica delle componenti di deformazione infinitesima. Se
ψ(E) =

1
Cijhk Eij Ehk ,
2

(2.10)

le (2.8)1 e (2.9) sarebbero evidentemente soddisfatte, mentre la condizione (2.8)2 imporebbe delle
disequazioni sui coefficienti Cijhk della forma quadratica. Torneremo ad approfondire questa scelta
nella sezione 2.6.
2.3.1

Differenziabilità della densità di energia elastica: tensione
Per semplificare la trattazione assumiamo che la densità di energia elastica sia una funzione almeno
due volte differenziabile nelle componenti di deformazione. In altri termini, se passiamo dalla
deformazione E alla deformazione E + Ẽ la variazione di energia elastica si scrive
ψ(E + Ẽ) − ψ(E) =

∂ψ
1 ∂2ψ
· Ẽ +
Ẽ · Ẽ + o(kẼk2 ),
∂E
2 ∂E∂E

(2.11)

Capitolo 2. Energia e tensione

38

Notiamo che la precedente espansione definisce implicitamente due tensori: il tensore doppio
simmetrico della tensione
T (E) :=

∂ψ(E)
∈ Sym ,
∂E

di componenti: Tij (Emn ) =

∂ψ(Emn )
,
∂Eij

(2.12)

e il tensore quadruplo della rigidezza tangente
C(E) :=

∂ 2 ψ(E)
,
∂E∂E

di componenti: Cijhk (Emn ) =

∂ψ(Emn )
.
∂Eij ∂Ehk

(2.13)

Anche il tensore C possiede naturalmente delle simmetrie; in particolare, dalla simmetria della
deformazione seguono le
Cijhk = Cjihk = Cijkh ,

(2.14)

e, dal teorema di Schwarz sulla simmetria delle derivate seconde, le
Cijhk = Chkij .

(2.15)

Notiamo che la scelta (2.10) di una densità di energia elastica quadratica nella deformazione
corrisponde ad una rigidezza C costante e indipendente dal livello di deformazione e a una tensione
lineare nella deformazione
T (E) = CE,

2.4

ovvero per componenti: Tij (Emn ) = Cijmn Emn .

(2.16)

Condizioni necessarie per un minimo locale
Sia ora assegnato un corpo caratterizzato dall’energia elastica Ee e soggetto al lavoro esterno Lext .
Un campo di spostamento u∗ fornisce un minimo locale dell’energia totale allorchè
Etot (u∗ +  v) ≥ Etot (u∗ ),

∀v,

0 <   1.

(2.17)

In altri termini, qualunque passo sufficientemente piccolo a partire dal minimo fa incrementare il
valore dell’energia totale.
Nel nostro caso, usando le (2.6) e (2.7) e valutando l’energia totale nei punti u = u∗ e u = u∗ +v,
otteniamo
Z

Z
Z
∗
∗
∗
∗
Etot (u +  v) − Etot (u ) =
ψ(E(u +  v)) − ψ(E(u )) − 
b·v−
t·v .
Ω

Ω

∂Ω

Usando la differenziabilità (2.11) con E = E(u∗ ) e Ẽ = E(v), la condizione di minimo (2.17)
diviene allora
 Z


Z
Z
Z
∂ψ
2
∂2ψ

· E(v) −
b·v−
t·v +
E(v) · E(v) + o(2 ) ≥ 0, ∀v.
2 Ω ∂E∂E
Ω ∂E
Ω
∂Ω
Se si divide per  e si passa al limite per  → 0 deve necessariamente essere
Z

Z
Z
T · E(v) −
b·v−
t · v ≥ 0,
∀v,
Ω

Ω

(2.18)

∂Ω

dove abbiamo usato la definizione di tensione (2.12). L’espressione a primo membro è lineare in v
e, dunque, cambia segno cambiando il segno dell’incremento v; dovendo questa condizione essere
vera comunque si scelga l’incremento otteniamo allora la
Condizione necessaria per minimo locale in u = u∗ .

Z

∗

Z

T (E(u )) · E(v) =
Ω

Z
b·v+

Ω

t · v,
∂Ω

∀v,

(2.19)

2.4 Condizioni necessarie per un minimo locale

39

Notiamo che la condizione (2.19) è equivalente ad imporre che la derivata direzionale dell’energia
totale
Z
Z
Z
∂Etot
Etot (u∗ +  v) − Etot (u∗ )
∗
(v) := lim
=
T (E(u )) · E(v) −
b·v−
t·v
→0
∂u u∗

Ω
Ω
∂Ω
sia nulla per ogni possibile incremento a partire dal punto u = u∗ . Tale punto potrebbe un minimo
ma anche un massimo, un punto di sella o un punto di stazionarietà dell’energia. Tuttavia una
volta soddisfatta la condizione (2.19) lo sviluppo dell’energia totale fornisce
Z
2
∗
∗
Etot (u +  v) − Etot (u ) =
C(E(u∗ )) E(v) · E(v) + o(2 )
2 Ω
È dunque la definita positività del tensore di rigidezza tangente a decidere se la condizione di
minimo locale (2.17) è verificata:
Condizioni necessarie e sufficienti per minimo locale in u = u∗ . Se

C(E(u∗ ))A · A > 0,

∀ (A 6= 0) ∈ Sym

allora la condizione (2.19) è anche sufficiente ad assicurare che u = u∗ sia un punto di minimo.



2.4.1

La condizione (2.19) è anche nota con il nome di “Principio dei Lavori Virtuali”. In effetti,
l’incremento v del campo di spostamento e la deformazione che ne risulta E(v) sono, a parte
i vincoli cinematici cui anche u deve sottostare, completamente arbitrari. Ne segue che i
termini in (2.19) possono essere riguardati come lavori compiuti su campi di spostamento
non effettivamente realizzati (' virtuali).

Equazioni di bilancio di forze e momenti
Dalla condizione (2.19) ricaviamo una serie di condizioni che devono essere necessariamente verificate
attraverso scelte differenti del campo v che incrementa lo spostamento.
Si scelga dapprima come incremento una semplice translazione: v(X) = w̄. Poichè E(v) = 0,
la (2.19) si riscrive
Z

Z
Z
Z
0=
b · w̄ +
t · w̄ =
b+
t · w̄,
∀w̄.
Ω

∂Ω

Ω

∂Ω

Vista l’arbitrarietà della translazione w̄, ne segue
Equazione di bilancio globale delle forze.

Z

Z
b+

Ω

t=0

(2.20)

∂Ω

Quindi si scelga come incremento una rotazione rigida infinitesima: v(X) = W̄ X con W̄ ∈ Skw .
Poichè E(v) = W̄ + W̄ > = 0, la (2.19) si riscrive5
Z

Z
Z
Z
1
0=
b · W̄ X +
t · W̄ X = −
X ∧b+
X ∧ t · W̄ ,
∀W̄ ∈ Skw .
2
Ω
∂Ω
Ω
∂Ω
Vista l’arbitrarietà della rotazione infinitesima W̄ , ne segue

5 Per

W̄ antisimmetrico
b · W̄ X = bi W̄ij Xj = W̄ij (Xj bi ) = W̄ij (Xj bi − Xi bj )/2 = −(X ∧ b) · W̄ /2

Capitolo 2. Energia e tensione

40
Equazione di bilancio globale dei momenti.

Z

Z
X ∧b+

Ω

X ∧t=0

(2.21)

∂Ω

Infine consideriamo un incremento di spostamento che dia luogo ad un incremento di deformazione
non nullo E(v) 6= 0. Da (2.19) otteniamo 6
Z
Z
Z
Z
Z
Z


b·v+
t·v =
T · E(v) =
Div (T > v) − (Div T ) · v =
T > v · n − (Div T ) · v,
Ω

∂Ω

Ω

Ω

∂Ω

Ω

avendo usato nell’ultimo passaggio il teorema della divergenza. Usando la nozione di trasposta e
accorpando i termini otteniamo
Z
Z
(Div T + b) · v +
(t − T n) · v = 0, ∀v.
Ω

∂Ω

L’arbitrarietà del campo v e il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni ci permettono di
desumere, come ulteriore conseguenza di (2.19) le
Equazioni di bilancio locale.

Div T + b = 0, in Ω



t = T n, in ∂Ω

(2.22)

L’equazione (2.22)2 è anche nota con il nome di teorema di Cauchy. Ne vedremo nella
sezione 2.5 la deduzione classica dovuta a Cauchy. Ci preme qui rimarcare che una relazione simile tra la forza di contatto t agente su un punto di una superficie (in questo caso
∂Ω) e alcune componenti del tensore della tensione T n nel medesimo punto può essere
ottenuta non solo sulla superficie esterna del corpo ma su ogni ideale superficie interna.
In particolare, se usiamo un opportuno campo di incremento di spostamento v localizzato in un sottoinsieme
P ⊂ Ω, vedi la figura qui a lato, dal medesimo processo
di integrazione per parti mostrato prima, otterremo
t = T n, in ∂P
ovvero la relazione tra forza di contatto e tensore della
tensione su una generica superficie interna ∂P.

Esercizio. Sia Ω = {kX − ok ≤ R2 }, un cerchio di raggio R, la configurazione di riferimento di

un corpo deformabile. Siano b = 0 in Ω e t = p n su ∂Ω. Calcolare la componente media della
tensione T11 in Ω.

Si chiede di determinare
Z
Z
Z
1
1
1
T11 :=
T11 =
(T a1 · a1 ) =
T · (a1 ⊗ a1 ),
A Ω
A Ω
A Ω

A := area(Ω).

Se si prende v(X) = X1 a1 ne segue E(v) = sym Grad v ≡ a1 ⊗ a1 . Dunque la media cercata, T11 ,
si può riguardare come proporzionale all’energia interna associata ad un campo di allungamento
unitario in direzione a1 !
Se usiamo (2.19) con il campo v scelto otteniamo allora:
Z

Z
Z 2π
1
1
(p n · (X1 a1 )) dθ.
T11 =
b · (X1 a1 ) +
t · (X1 a1 ) =
A
πR2 0
Ω
∂Ω
Poichè X1 = R cos θ e n · a1 = cos θ, svolgendo l’integrale, si ottiene T11 = p/R.
6 La

regola di integrazione per parti usata è:
(Tij vi ),j = Tij,j vi + Tij vi,j

ovvero

Div (T > v) = Div T · v + T · Grad v

. Inoltre essendo T ∈ Sym , T · Grad v = T · sym Grad v = T · E(v).

2.5 La deduzione di Cauchy del tensore della tensione

2.5

41

La deduzione di Cauchy del tensore della tensione
Nelle sezioni precedenti abbiamo derivato il concetto di tensione e le equazioni di bilancio che ne
regolano la distribuzione a partire dal concetto di energia e dal problema di minimizzazione (2.5).
Vogliamo ora illustrare il percorso con cui Cauchy arrivò a dimostrare l’esistenza del campo di
tensione partendo dall’equilibrio ovvero dall’assunto che la somma di tutte le forze agenti su ogni
porzione del corpo fosse nulla.
Indicando con P ⊂ Ω un sottoinsieme regolare della configurazione del corpo che ne identifichi
una (sotto-)parte, Cauchy postulò che le forze agenti sul bordo interno ∂P fossero delle forze
superficiali del medesimo tipo di quelle agenti sul bordo esterno t : ∂Ω 7→ IR3 . Assunse, inoltre,
che tale sistema di forze interne dipendesse in ogni punto X dalla superficie ∂P per il solo tramite
della normale n∂P alla superficie7
t(X, ∂P) = t(X, n∂P ).

(2.23)

Dal postulato (2.23) deduciamo che se due sottoparti Pa e Pb condividono la stessa normale esterna
in un punto X, allora le forze di contatto agenti sulle due superfici nell’intorno del punto considerato
sono uguali:

⇒

t(X, ∂Pa ) ≡ t(X, ∂Pb ).

Il seguente celebre teorema, che prende il nome di Cauchy, afferma che la forza di contatto t dipende
in modo lineare dalla normale n∂P .
Teorema del tetraedro di Cauchy. Se vale il bilancio delle forze e dei momenti per ogni sottoparte
regolare P ⊂ Ω, allora esiste un campo tensoriale simmetrico T : Ω 7→ Sym tale che

∀X ∈ Ω

t(X, n∂P ) = T (X)n∂P ,

(2.24)

Dimostrazione. Si consideri un generico punto X ∈ Ω e una sottoparte P ⊂ Ω tale che X ∈ ∂P.
In particolare, Cauchy considerò come sottoparte P un tetraedro per avere il minor numero di facce
di cui considerare le forze di contatto. Con riferimento alla figura 2.5 a sinistra, possiamo costruire
un tale tetraedro dapprima selezionando un intorno triangolare A di X e quindi tagliando secondo
tre piani tra loro ortogonali una piramide di materiale che abbia A come base. Denoteremo con n
la direzione normale alla faccia A e con t(·, n) la forza di contatto per unità di superficie applicata
su A. Denoteremo, inoltre, con Ai=1,2,3 le ulteriori tre facce del tetraedro; esse sono per costruzioni
ortogonali e dunque individuano un punto, o, √
e tre assi, ai=1,2,3 , tra loro ortogonali. Indicando
con A > 0 l’area della faccia A definiamo ε := A; evidentemente la profondità della piramide è
proporzionale a tale valore: kX − ok ∝ ε.
Sul tetraedro oltre alle forze di volume b(·) e alla forza di contatto t(·, n) agiscono le forze di
contatto applicate attraverso le facce Ai dal resto del corpo. Il bilancio delle forze si scrive allora
Z

Z
b(Z) dV +

P

t(P , n) dA +
A

3 Z
X
i=1

t(Yi , −ai ) dA = 0,

Ai

7 I punti di ∂P “lontani” da X non hanno dunque alcuna influenza nel determinare la forza di contatto. Teorie
più sofisticate si possono ottenere scegliendo una dipendenza meno “locale” di t da P. La più semplice di queste
teorie “nonlocali” prevede una dipendenza della forza di contatto non solo dalla normale, ma anche dalla curvatura
della superficie
t(X, ∂P) = t(X, n∂P , ∇n∂P ).

Capitolo 2. Energia e tensione

42

Figura 2.1: Un corpo ed una sottoparte a forma di tetraedro. Il tetraedro è il solido a volume non
nullo con il numero minimo di facce.
essendo Z il generico punto nel tetraedro, P il generico punto sulla faccia A, Yi i generici punti
sulle facce Ai e −ai le normale alla medesima faccia. Nel limite per ε → 0 il contributo delle forze
di volume diviene evanescente; infatti
Z
b(Z) dV ≤ kbkmax VP = C ε3
P

mentre gli altri contributi scalano con l’area A = ε2 . Inoltre, per ε → 0, tutti i punti tendono ad
X. Dunque, dividendo per l’area A e operando il limite ε → 0 si ottiene
t(X, n) = −

3
X
Ai

A

i=1

t(X, −ai ),

essendo Ai l’area della faccia Ai . I rapporti di aree Ai /A si possono valutare calcolando il flusso,
attraverso il bordo del tetraedro, dei campi vettoriali costanti ai=1,2,3 ; si ha
Z
Z
XZ
ai · n =
ai · n +
ai · (−ah ) = A ai · n − Ai
A

∂P

h

Ah

Ma usando il teorma della divergenza scopriamo che tale flusso è nullo
Z
Z
ai · n =
Div ai = 0.
P

∂P

Ne segue allora Ai /A = ai · n e
t(X, n) = −

3
X
(ai · n) t(X, −ai ).
i=1

Questa formula mostra già la dipendenza lineare tra forza di contatto t(X, n) e normale n. In
particolare, la funzione t(X, ·) essendo lineare è anche continua e dunque:
t(X, ah ) = lim t(X, n) = −
n→ah

3
X

(ai · ah ) t(X, −ai ) = −t(X, −ah ),

h = 1, 2, 3.

i=1

Sostituendo ottieniamo infine
" 3
#
3
X
X
t(X, n) =
(ai · n) t(X, ai ) =
t(X, ai ) ⊗ ai n =: T (X) n.
i=1

i=1

La simmetria del tensore della tensione T (X) appena definito discende dal bilancio dei momenti. 

2.5 La deduzione di Cauchy del tensore della tensione

43

La dimostrazione del tetraedro è costruttiva nel senso che non solo dimostra l’esistenza del
tensore della tensione ma ne fornisce anche l’espressione esplicita
T :=

3
X

t(ai ) ⊗ ai .

(2.25)

i=1

dove abbiamo tralasciato di indicare la dipendenza dal punto X. Come per ogni altro tensore, la
generica componente della tensione si ottiene
!
3
X
Thk = ah · (T ak ) = ah ·
t(ai ) ⊗ ai ak = ah · t(ak ) = th (ak );
(2.26)
i=1

Thk misura allora la componente in direzione h della forza di contatto agente sulla giacitura di
normale ak . Questa medesima informazione viene, a volte, parafrasata dicendo che le tre colonne
della matrice che rappresenta la tensione sono rispettivamente le forze di contatto t(a1 ), t(a2 ), e
t(a3 ) sulle facce coordinate.
2.5.1

Direzioni principali di tensione e cerchio di Mohr
Possiamo ripetere le considerazioni fatte sul tensore della deformazione anche per l’analisi del
tensore della tensione. In particolare dato un tensore di T ha senso porsi il seguente problema di
autovalori:
T nk = σk nk ,

knk k = 1.

(2.27)

Essendo T ∈ Sym gli autovalori σk sono numeri reali e che gli autovettori corrispondenti ad
autovalori distinti sono direzioni ortogonali:
(σk − σh ) nk · nh = 0.
Visto che σk = T nk · nk ciascun autovalore fisicamente indica la trazione nella direzione del
corrispondente autovettore. Per questo motivi gli autovalori di T vengono spesso designati come
tensioni principali. Si nota inoltre che in ogni piano che contenga un autovettore lo sforzo di taglio
è nullo: se infatti m⊥nk risulta T nk · m = σk nk · m = 0.
Il problema di autovalori equivale dunque a cercare un sistema di riferimento ortonormale in cui
il tensore di deformazione sia rappresentato da una matrice diagonale (diagonalizzazione di T ).
Cerchio di Mohr

Un caso particolarmente importante e ricorrente è quello delle tensioni piane ovvero delle tensione a
determinante nullo det T = 0. Ricordando che det T = σ1 σ2 σ3 , la condizione di avere determinante
nullo impone almeno un autovalore (=trazione principale) nullo. Nella direzione dell’autovettore
associato la tensione ha allora tutte le componenti nulle e, dunque, la faccetta ortogonale a tale
direzione è completamente scarica.
In generale, previa una opportuna scelta del sistema di riferimento principale, una tensione
piana è rappresentata dalla matrice


T11 T12 0
[T ]piana =  T12 T22 0  ,
(2.28)
0
0 0
avendo scelto come faccetta scarica la giacitura ortogonale ad a3 .
Per uno stato di tensione piana esiste una rappresentazione grafica particolarmente efficace dello
stato di tensione. A questo scopo, e con riferimento alla scelta (2.28), si scelgono nel piano 12 le
direzioni mutuamente ortogonali n = cos ϕa1 + sin ϕa2 e m = − n = sin ϕa1 − cos ϕa2 , vedi
Figura 1.2.5. La trazione σn nella direzione n vale:
σn (ϕ) = T n · n = T22 sin2 ϕ + T12 sin(2ϕ) + T11 cos2 ϕ,

(2.29)

mentre la tensione tangenziale τmn vale:
τnm (ϕ) = T n · m =

T11 − T22
sin(2ϕ) − T12 cos(2ϕ).
2

(2.30)

Capitolo 2. Energia e tensione

44

Le (2.29) e (2.30) rappresentano le equazioni parametriche di una curva nel piano (σn , τnm )
(Piano di Mohr). In particolare tale curva è una circonferenza con centro sull’asse σn ; in effetti,
eliminando ϕ dalla combinazione delle (2.29) e (2.30), si ottiene:
2

2

(σn − σc ) + (τmn ) = R2

con σc :=

T11 + T22
e R2 :=
2



T11 − T22
2

2

2
+ T12
.

I parametri σc e R sono evidentemente sufficienti a costruire la circonferenza di Mohr nel
piano (σn , τnm ). Resterebbe tuttavia interminata la sua parametrizzazione; in altri termini non
sapremmo a quale punto del cerchio corrisponda una definita direzione ϕ e viceversa. Per individuare
univocamente tale parametrizzazione, espressa nelle (2.29) e (2.30), si correda il cerchio di un punto
speciale che si chiama polo delle giaciture. Si procede alla costruzione come segue:
1. Si individuano i due punti del cerchio relativi alle scelte
V : ϕ=0

⇒ n ≡ a1 , m ≡ −a2

⇒ (σn , τnm ) = (T11 , −T12 )

O : ϕ = π/2

⇒ n ≡ a2 , m ≡ a1

⇒ (σn , τnm ) = (T22 , T12 )

2. Si congiungono i punti O e V individuando, all’intersezione con l’asse σn , il centro C del
cerchio e dunque il suo raggio R = kCV k = kCOk
3. Portando l’orizzontale per O e la verticale per V si individua un punto del cerchio che si
chiama polo delle giaciture; esso ha coordinate K = (T11 , T12 )

Figura 2.2: Scelta di Mohr delle direzioni n e m. Costruzione di cerchio e polo delle giaciture K.
Fatta questa costruzione abbiamo corredato il cerchio di Mohr di un punto (polo delle giaciture)
che permette di parametrizzarlo in termini dell’angolo ϕ. In effetti si dimostra che il punto
(σn (ϕ), τnm (ϕ)) si determina come intersezione tra il cerchio e la giacitura per il punto K inclinata
di un angolo ϕ rispetto all’orizzontale. In particolare, frecce rosse nella Figura 1.2.5, abbiamo
individuato le direzioni corrispondenti alle trazioni massime e minime ovvero le direzioni principali
di tensione.
Notiamo che la costruzione è del tutto speculare a quella di sezione Sez. 1.2.5. Nel caso di
deformazioni abbiamo tuttavia ritenuto preferibile fare riferimento alle direzioni piuttosto che alle
giaciture.
Esercizio. La figura seguente mostra un cubetto infinitesimo di materiale soggetto a delle forze
per unità di superficie.

2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive

45

Con riferimento a tale figura, si considerino pari a
5 KN/cm2 e 10 KN/cm2 le intensità di tali forze di contatto.
Si usino le equazioni (2.26) per scrivere il tensore della
tensione.
Si determini, inoltre, se lo stato di tensione esaminato è
piano e, in caso positivo, lo si rappresenti sul piano di
Mohr.
Con riferimento alle (2.26) abbiamo facilmente

0
8 
0
[T ] = 10
−1




0 −1
0 0 
0 0.5

dove abbiamo espresso le tensioni nel sistema MKS (1 KN/cm2 = 107 N/m2 ). Si noti il segno
negativo delle componenti T13 = T31 ; la forza tangenziale sulla faccia di normale a3 è infatti rivolta
in direzione opposta a a1 .
Poichè la faccetta di normale a2 è scarica, lo stato di tensione mostrato è piano e lo possiamo
rappresentare con un cerchio di Mohr nel piano (a1 , a3 ). Ripetendo la costruzione del cerchio e del
suo polo delle giaciture illustrata prima otteniamo:
1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Si nota che le giaciture O e V , così come le giaciture di trazione massima e minima individuate in
Figura si riferiscono al piano (a1 , a3 ) e come tali vanno interpretate per poterle visualizzare nello
spazio ambiente tridimensionale: a titolo di esempio, nella figura a destra, riportiamo in 3D la
giacitura relativa alla trazione massima σ = σ1 .

2.6
2.6.1

Più dettaglio sulle assunzioni costitutive
Classi di simmetria materiale
Sappiamo dall’esperienza comune che alcuni materiali manifestano minore o maggiore rigidezza
in funzione della direzione in cui sono testati. Rendiamo precisa questa idea per arrivare alla
definizione di materiali isotropi e anisotropi.
Si chiama classe di simmetria materiale l’insieme H delle trasformazioni lineari sotto cui l’energia
elastica resta invariante
ψ(P >EP ) = ψ(E),

per P ∈ H.

(2.31)

L’idea dietro a questa equazione è quella di fare diverse misure sperimentali su un provino di
materiale saggiandone la risposta al variare della trasformazione P (rotazione, riflessione, ...)
preventivamente imposta al provino.
In base alla classe di simmetria che i materiali possiedono li possiamo catalogare come segue:
• Isotropi se H = {Q ∈ Orth}

Capitolo 2. Energia e tensione

46

• Trasversalmente isotropi se H = {Q ∈ Orth+ , Qa = a} e a è una direzione in IR3
• Ortotropi se H = { Riflessioni rispetto a tre piani mutuamente ortogonali}
• Anisotropi se H = ∅
Esistono molte altre classi di simmetria materiale, ma qui ci soffermeremo solamente su quelle
elencate.
Un metodo efficiente per procedere nella costruzione di funzionali energia ψ che verifichino (2.31), e
dunque descrivano un materiale con certe caretteristiche di isotropia, è quello di individuare tutti
gli invarianti ηi (E) della deformazione sotto l’azione della classe di simmetria H in questione e
quindi postulare l’energia come funzione della deformazione per il tramite di tali invarianti
ηi (P >EP ) = ηi (E),

ψ = ψ(η1 (E), η2 (E), ...),

P ∈ H.

(2.32)

Materiali isotropi

Per esempio per un materiale isotropo possiamo far dipendere l’energia elastica dai soli invarianti
del tensore di deformazione E sotto Orth. A questo scopo possiamo scegliere come invarianti i
coefficienti del polinomio caratteristico p(x) = det(E − x1) ovvero
(trE)2 − trE 2
, η3 = det E,
2
Sappiamo che tutte queste quantità scalari non dipendono dalla matrice usata per rappresentare il
tensore E ma sono proprietà intrinseche del tensore.
Se, allora, per un materiale isotropo postuliamo
η1 = trE,

η2 =

ψ(E) = ψ̂(η1 (E), η2 (E), η3 (E)),
siamo garantiti del rispetto della condizione di isotropia (2.31) con H = Orth. Per il tensore della
tensione si avrà di conseguenza
T =

∂ψ(E) X ∂ ψ̂ ∂ηi
=
.
∂E
∂ηi ∂E
i

A partire da questa espressione, poichè
∂η1
∂η2
∂η3
= 1,
= η1 1 − E,
= η3 E −1 ,
∂E
∂E
∂E
il tensore della tensione per un materiale isotropo si esprime come
T = g1 (ηi ) 1 + g2 (ηi ) E + g3 (ηi ) E −1 ,
con gj funzioni degli invarianti ηi . Se richiediamo che la relazione tra T e E sia lineare (o che ψ sia
quadratica) ne segue necessariamente:
∂ψ
= 2µ E + λ (trE) 1,
∂E
per µ e λ due costanti. A questa corrisponde la densità di energia elastica
g3 (ηi ) = 0, g2 (ηi ) = 2µ, g1 (ηi ) = λ trE,

ψ(E) = µkEk2 +

⇒

T =

λ
(trE)2 .
2

Infine, perchè una tale densità di energia sia positiva per ogni scelta della deformazione8 , deve
essere per un campo di deformazione sferico E = α 1:
λ
3 α2
(3α)2 =
(2µ + 3λ) > 0,
2
2
e per un campo di deformazione deviatorico E = A con trA = 0
ψ(α1) = µ kα 1k2 +

ψ(A) = µ kAk2 > 0,

∀α 6= 0

∀A 6= 0 ∈ Dev.

Possiamo riassumere i risultati trovati con il seguente teorema
8 Questa richiesta per quanto naturale ha diversi difetti, vedi (Ball, Convexity Conditions and Existence Theorems
in Nonlinear Elasticity, ARMA 1977)

2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive

47

Densità di energia elastica per un materiale isotropo lineare. La più generale forma quadratica

per la densità di energia elastica di un materiale isotropo è
ψ(E) = µkEk2 +

λ
(trE)2 ,
2

µ > 0,

2µ + 3λ > 0

(2.33)

caratterizzata dalle due costanti di Lamè λ e µ. A questa corrisponde una tensione lineare nella
deformazione nella forma
T =



∂ψ
= 2µ E + λ (trE) 1.
∂E

(2.34)

Il legame costitutivo (2.34) è facilmente invertibile: calcolando la traccia di entrambi i
membri si ottiene
trT = (2µ + 3λ) trE;
Sostituendo in (2.34) abbiamo il legame costitutivo inverso:
E=

λ trT
T
−
1
2µ
2µ(2µ + 3λ)

(2.35)

utile per calcolare lo stato di deformazione una volta noto lo stato di tensione.
Trazione monoassiale, taglio e pura pressione. Calcolare le deformazioni di un materiale

isotropo soggetto agli stati di tensione:
A)

T = σa⊗a

trazione monoassiale

B) T = τ (a ⊗ b + b ⊗ a) puro taglio
C)

T = p1

(2.36)

pura pressione

dove a e b sono due direzioni ortonormali.



Per uno stato di pura trazione in direzione a, visto che tr T = σ, si ottiene:
E=

νσ
σ
a⊗a−
1̂,
Y
Y

Y :=

µ(2µ + 3λ)
(µ + λ)

ν :=

λ
,
2(λ + µ)

dove 1̂ = 1 − a ⊗ a e abbiamo definito i moduli di Young Y e di Poisson ν. Il modulo di Young
misura il rapporto tra la tensione σ imposta e l’allungamento ottenuto nella medesima direzione a,
mentre il modulo di Poisson misura la frazione di contrazione che si ottiene nelle direzioni trasversali.
Se a ≡ a1 in componenti otteniamo




σ 0 0
1 0
0
σ
 0 −ν 0 
[T ] =  0 0 0  ⇒ [E] =
Y
0 0 0
0 0 −ν
Per uno stato di puro taglio, visto che tr T = 0, si ottiene invece:
E=

T
τ
= (a ⊗ b + b ⊗ a),
2µ
G

G := µ

dove il modulo di taglio G misura il rapporto tra il taglio τ imposto e lo scorrimento angolare
ottenuto (γ = 2Ea · b). Se a ≡ a1 e b ≡ a2 in componenti otteniamo




0 τ 0
0
γ/2 0
0
0  , γ = τ /G.
[T ] =  τ 0 0  ⇒ [E] =  γ/2
0 0 0
0
0
0
Infine, per uno stato di pura pressione T = p 1, si ottiene
E=

p
1,
3K

K :=

2µ + 3λ
Y
=
,
3
3 (1 − 2ν)

Capitolo 2. Energia e tensione

48

dove il modulo di compressione K misura il rapporto tra la pressione p imposta e la variazione di
volume (trE) ottenuta.


I vincoli richiesti (µ > 0 e 2µ + 3λ > 0) alle costanti di Lamè per un’energia definita positiva
si traducono nelle seguenti richieste sui moduli elastici introdotti9
Y > 0,



−1 ≤ ν ≤ 0.5,

G > 0,

K > 0.

Mentre le richieste di positività per i moduli di Young, di taglio e di compressione sono
abbastanza naturali, le disuguaglianze imposte al modulo di Poisson richiedono qualche
spiegazione ulteriore.
In particolare, notiamo che esistono dei materiali
caratterizzati da un modulo di Poisson negativo:
questi, qualora sottoposti a trazione, si dilatano in tutte le direzioni. Si chiamano materiali
auxetici e un esempio, che può essere ottenuto
tramite una semplice stampa 3D, è mostrato qui
a lato. Il valore massimo del modulo di Poisson,
ν → 0.5, corrisponde invece a materiali in cui
K → ∞ ovvero a materiali che tendono ad essere
incomprimibili.

I legami elastici isotropi (2.34) o (2.35) possono essere espressi in maniera equivalente in termini
di moduli di Young e di Poisson. In particolare, se si elencano nella forma vettoriale di Voigt le
componenti dei tensori di deformazione e tensione, per la sovrapposizione degli effetti dei casi
semplici appena studiati, si ottiene

 


E11
1/Y
−ν/Y −ν/Y
0
0
0
T11
 E22   −ν/Y
  T22 
1/Y
−ν/Y
0
0
0

 


 E33   −ν/Y −ν/Y
  T33 
1/Y
0
0
0

=


(2.37)
 E12  
  T12  ,
0
0
0
1/(2µ)
0
0

 


 E13  
  T13 
0
0
0
0
1/(2µ)
0
E23
0
0
0
0
0
1/(2µ)
T23
o la relazione inversa (2µ = Y /(1 + ν))



ν − 1 −ν
T11
 T22 
 −ν
ν−1



 T33 
 −ν
Y
−ν



 T12  = 2ν 2 + ν − 1  0
0



 0
 T13 
0
0
0
T23

−ν
−ν
ν−1
0
0
0

0
0
0
2ν − 1
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
2ν − 1
0
0
2ν − 1


















E11
E22
E33
E12
E13
E23





 (2.38)




Questa versione “ingegneristica” del legame elastico isotropo è anche nota come legge di Hooke.


Una parola di cautela sulla notazione di Voigt Sappiamo che, per ogni scelta della
base, ogni tensore è rappresentabile in maniera univoca attraverso le sue componenti
T = Tij ai ⊗ aj = T̂hk âh ⊗ âk .
La notazione di Voigt consiste nell’organizzare queste componenti in una lista Tij
T̃m per
una qualche scelta della corrispondenza biunivoca m ←→ (i, j).
In questo modo la relazione (2.34) che fa intervenire un tensore quadruplo tra le componenti
di T ed E:
Tij = Cijhk Ehk ,
Cijhk = µ (δih δjk + δjh δik ) + λ δij δhk

9 Tutti i mutui legami tra i moduli elastici (µ, λ, Y, ν, G, K) li trovate qui: http://en.wikipedia.org/wiki/
Elastic_modulus

2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive

49

si riscrive in forma matriciale come in (2.38)
T̃m = C̃mn Ẽn .
Questa idea ha modesti vantaggi (la facilità di scrittura o di implementazione della legge
costitutiva?) e alcuni pericoli. Il principale di questi ultimi è quello di trattare le liste di
numeri T̃m e Ẽn come le componenti di vettori e la lista di numeri C̃mn come le componenti
di un tensore doppio: non è vero! Queste sono e rimangono solo liste. In particolare, le leggi
sotto cambiamento di base o di osservatore delle quantità elencate in tali liste rimangono
quelle proprie del loro ordine tensoriale, vedi (1.23)
T̂hk = (aj · âk ) (ai · âh ) Tij ,

Ĉijhk = (ak · ât ) (ah · âs ) (aj · âr ) (ai · âq ) Cqrst .

Materiali trasversalmente isotropi

Questo tipo di materiali hanno un asse privilegiato tipicamente indotto dalla presenza di fibre, vedi
Figura 2.3.

Figura 2.3: Due esempi di materiali fibrosi: nella testa di un femore, a sinistra, la direzione delle
fibre varia da punto a punto per una precisa funzione di sostegno. In un calcestruzzo fibro-rinforzato,
a destra, la direzione delle fibre è dettata dal progettista.
Nei materiali trasversalmente isotropi la classe di simmetria materiale H è più piccola del caso
isotropo: le sole rotazioni che lasciano invariata la risposta del materiale sono le rotazioni intorno
ad un asse privilegiato detto asse di trasversa isotropia.
Essendoci dunque meno vincoli (ovvero equazioni del tipo (2.31)) da soddisfare, il numero di
invarianti sotto H è maggiore. In effetti un materiale trasversalmente isotropo possiede, oltre agli
invarianti η1 , η2 e η3 , i due ulteriori invarianti:
η4 = Ea · a,

η5 = kEak2 = Ea · Ea = E 2 a · a.

essendo a la direzione di trasversa isotropia.
Determinare la forma più generale della densità di energia elastica quadratica e del legame
costitutivo lineare per un materiale trasversalmente isotropo.

Poichè

∂η5
∂η4
= a ⊗ a,
= Ea ⊗ a + a ⊗ Ea,
∂E
∂E
la forma generale del legame costitutivo elastico è la seguente
T = g1 (ηi ) 1 + g2 (ηi ) E + g3 (ηi ) E −1 + g4 (ηi ) a ⊗ a + g5 (ηi )(Ea ⊗ a + a ⊗ Ea),
ma, richiedendo la linearità e notando che gli invarianti η1 e η4 sono gli unici lineari in E, si ottiene
T = (c1 trE + c2 Ea · a) 1 + 2c3 E + (c̄2 trE + c4 Ea · a) a ⊗ a + c5 (Ea ⊗ a + a ⊗ Ea),
per un totale di 5 costanti indipendenti, appena si noti che le costanti c2 e c̄2 devono essere uguali
essendo i pesi del medesimo contributo nell’energia
c1
ψ(E) = c3 kEk2 + (trE)2 + c2 (trE) Ea · a + c4 (Ea · a)2 + c5 kEak2 .
(2.39)
2
Questa è la più generale forma di densità di energia quadratica per un materiale trasversalmente
c1
isotropo e corrisponde alla scelta ψ = c3 (η12 − 2η2 ) + η12 + c2 η1 η4 + c4 η42 + c5 η5 .
2

Capitolo 2. Energia e tensione

50

Figura 2.4: Gli effetti delle deformazioni termiche su rotaie e l’espediente tecnico usato per
contrastarle nei ponti.
2.6.2

Deformazioni indotte da altre forme di energia
Finora abbiamo considerato solo due forme di energia: il lavoro esterno Lext (u) e l’energia elastica
Ee (E). Sebbene queste siano sufficienti a descrivere moltissime applicazioni dell’ingegneria civile,
alcune volte ha interesse considerare altre forme di energia e di interazioni tra le strutture e
l’ambiente esterno. Un esempio di particolare interesse è costituito dall’energia termica e dal fatto
che le proprietà costitutive dei materiali possano dipendere dalla temperatura.
Lungi dal volerci cimentare in uno studio approfondito della termo-dinamica dei corpi deformabili
qui considereremo il campo di temperatura di un corpo, T = T(X), come un dato imposto
dall’esterno.
Le evidenze sperimentali ci dicono che la temperatura, oltre ad alterare la rigidezza del materiale
(2.13), effetto che qui trascureremo, altera la configurazione a riposo del materiale. In particolare ,
l’ipotesi che non risulta più veritiera quando ci sono rilevanti sbalzi termici è la (2.8).
Sappiamo infatti che scaldando un materiale ne alteriamo il volume e, in generale, lo deformiamo.
La deformazione ottenuta in un dato elemento di materiale alterandone la temperatura dal valore
T0 della configurazione di riferimento al valore T è una proprietà costitutiva del materiale e come
tale va misurata. La più semplice assunzione per un materiale isotropo potrebbe essere
E T−T0 = α (T − T0 ) 1,
dove è sufficiente stabilire come unico parametro materiale α (coefficiente di dilatazione termica). In tal caso, le deformazioni termiche sono uguali in tutte le direzioni, ma, evidentemente,
leggi costitutive più complesse potrebbero essere necessarie per riflettere più complesse evidenze
sperimentali.
Di queste deformazioni imposte tramite campi di temperatura possiamo tener conto sostituendo
la richiesta (2.8) con la
Ee (E = E T−T0 ) = 0

e

Ee (E 6= E T−T0 ) > 0

(2.40)

dove abbiamo “shiftato” il valore della deformazione corrispondente al valore nullo dell’energia
elastica. Una densità di energia elastica quadratica che verifichi (2.40), e non (2.8), è
1
T−T0
T−T0
Cijhk (Eij − Eij
)(Ehk − Ehk
),
2
cui corrisponde il legame costitutivo
ψ(E, T − T0 ) =

Tij =

∂ψ(E, T − T0 )
T−T0
= Cijhk (Ehk − Ehk
),
∂Eij

ovvero

(2.41)

T−T0
Ehk = Ehk
+ C−1
hkij Tij .

(2.42)

Da queste due ultime relazioni è evidente come adottando la densità di energia (2.41), la deformazione
di un elemento materiale risulti costitutivamente dalla somma del contributo termico e del contributo
di origine meccanica proporzionale alla tensione imposta ed inversamente proporzionale alla rigidezza.
Le deformazioni imposte dovute ad altre forme di energia (si pensi alla crescita, all’interazione
del materiale con campi elettrici o magnetici etc...) si possono trattare in modo simile, ma non ci
dilungheremo su questi argomenti.

2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive
2.6.3

51

I criteri di resistenza
Abbiamo già notato che la scelta di una densitá di energia elastica quadratica, ovvero di un legame
lineare tra tensione e deformazione, risulta valida purchè le deformazioni non siano troppo grandi.
I criteri di resistenza sono un modo di definire il limite di validitá di tali assunzioni.
Per fissare le idee, pensiamo a una ipotetica prova di trazione monoassiale: applichamo a un
provino di materiale una trazione per unità di superficie pari a σ in direzione a e misuriamo
l’allungamento ε nella medesima direzione. Le tre figure seguenti esemplificano tre possibili
comportamenti materiali.

0

0

0

Figura 2.5: Tre comportamenti materiali differenti: da sinistra verso destra una frattura (materiali
fragili: e.g. gesso), una plasticizzazione (materiali duttili, e.g. metalli ) e un irrigidimento (materiali
con fibre polimeriche, e.g gomme vulcanizzate).
Raggiunto il valore critico di tensione e deformazione il materiale nel primo caso cede improvvisamente ( frattura fragile), nel secondo inizia diminuire progressivamente la sua rigidezza
(plasticizzazione, softening) mentre nel terzo caso la aumenta (hardening).
Per gli scopi di questo corso, lungi dal volerci addentrare in una analisi approfondita delle
possibili risposte materiali, ci è sufficiente individuare i valori limite di tensione o deformazione
oltre i quali la risposta del materiale non è più lineare e l’ipotesi di energia quadratica perde la sua
validità. I criteri di resistenza assolvono a tale scopo e sono solitamente formulati, in termini di
tensioni, come una collezione di disequazioni del tipo
gα (T ) ≤ hα ,

α = 1, 2, ...

(2.43)

Sebbene possa apparire più naturale formulare i criteri di resistenza in termini di deformazioni,
finchè vi è una relazione costitutiva lineare tra T e E, fornire delle disequazioni in termini di
tensioni piuttosto che di deformazioni è del tutto equivalente.
Noi esamineremo solamente tre dei principali criteri di resistenza: questi si differenziano tra loro
nella scelta delle funzioni gα : Sym 7→ IR in (2.43) ovvero nella scelta della combinazione di componenti della tensione che non deve superare il valore di soglia. In particolare, nel criterio di von Mises
si sceglie
gvM (T ) = kdev T k;

(2.44)

questo criterio trova spesso applicazione per caratterizzare materiali duttili, prevalentemente
metallici. Il criterio di Rankine, o della trazione normale massima, utilizza invece la funzione
gR (T ) = max{T n · n, knk = 1},

(2.45)

n

per caratterizzare i limiti di materiali tipicamente fragili. Infine, il criterio di Tresca o della tensione
tangenziale massima, usa la funzione
gT (T ) = max{|T n · m|, knk = kmk = 1, n · m = 0},
n,m

(2.46)

e è generalmente usato per materiali duttili.
Scelto un materiale per determinare i valori critici hα delle quantità indicate dai criteri di
resistenza si procede come segue:
1. Si testa un provino di materiale con uno stato di tensione monoassiale
T m (σ) = σ a ⊗ a

Capitolo 2. Energia e tensione

52

2. Si determina il valore critico della tensione σ a cui la risposta del materiale smette di essere
lineare σ = σ̄
3. Si suppone che tale valore soglia sia lo stesso per tutti gli stati di deformazione (non solo per
la trazione monoassiale!) scrivendo il criterio di resistenza
gα (T ) ≤ gα (T m (σ̄)).

gvM (T )

Tensione monoassiale
√
√
2 |σ|/ 3

Tensione generica tramite autovalori
√
√ p 2
2 σ1 + σ22 + σ32 − σ2 σ1 + σ3 σ1 − σ2 σ3 / 3

gR (T )

|σ|

max{|σ1 |, |σ2 |, |σ3 |}

gT (T )

|σ|/2

max{|σ1 − σ2 |, |σ1 − σ3 |, |σ2 − σ3 |}/2

Tabella 2.1: Valutazione delle funzioni gvM , gR e gT sugli stati di tensione monoassiali e generici.
È inoltre opportuno formulare le disuguaglianze (2.43) che limitano in campo di applicazione
del legame lineare, in termini di invarianti del tensore della tensione (ad esempio in termini di
autovalori) e non di componenti. Infatti, le componenti Tij dipendono dal sistema di riferimento
scelto per rappresentare il tensore, mentre ci aspetteremmo che i criteri di resistenza ne prescindano.
A tale scopo consideriamo uno stato di tensione generico espresso su una base di autovettori âi :
X
T =
σi âi